Nota: ¡Baidu no puede mostrar guiones en matemáticas! a0,a1,...,a(n-1),a(n) es una secuencia, r1.r2,...,r(n-1),r(n) también es una secuencia. r(n-1) es el (n-1)ésimo elemento de la secuencia. No lo malinterpretes. ¡Necesito darle un consejo a Baidu!
La ecuación de Bezu, que lleva el nombre de Eddie Bezu, es una ecuación diofántica lineal.
Se demuestra que si existen números enteros a, b y su máximo común divisor d, deben existir números enteros x e y tales que:
ax + by = d
x, y se llama número de Beisu y se puede obtener mediante la versión extendida de la división euclidiana, pero el resultado no es único.
Por ejemplo, si el máximo común divisor de 12 y 42 es 6, puedes escribir (-3)×12 + 1×42 = 6 y 4×12 + (-1)×42 = 6 .
D es en realidad el entero positivo más pequeño que se puede escribir en la forma ax + by.
La división euclidiana se utiliza para encontrar el máximo común divisor. Lo expresamos en forma algebraica (en esencia, la forma aritmética también se puede explicar claramente). Dados dos enteros positivos a y b, divide a por b para obtener el cociente a0 y el resto r, que se escribe como la fórmula
a=a0b+r, 0≤r Esta es la fórmula más básica, el alma del método de eliminación. Si r es igual a 0, entonces b puede dividir a, y el máximo común divisor de a y b es b. Si r≠0, divide b entre r para obtener el cociente a1 y el resto r1, es decir, b=a1r+r1, 0≤r1 Si r1=0, entonces r divide a b, y (1) también divide a a, por lo que r es el divisor común de a y b. Por el contrario, cualquier número de ? y b se divide por (1), por lo que r es el máximo común divisor de a y b. Si r1≠0, divide r entre r1 para obtener el cociente a2 y el resto r2, es decir, r=a2r1+r2, 0≤r2 Si r2=0, entonces de (2) podemos saber que r1 es el divisor común de b y r, y de (1), r1 también es el divisor común de a y b . Por el contrario, si un número puede dividir todos a y b, entonces, según (1), también debe dividir todos b y r. Según (2), debe dividir todos r y r1, por lo que r1 es el máximo de. a y b. divisor común. Si r2≠0, entonces divide r1 entre r2, y procede de la misma forma. Dado que b＞r＞r1＞r2＞... disminuye gradualmente y todos son números enteros positivos, el máximo común divisor d de ayb se puede encontrar después de pasos finitos (puede ser 1). Este es el famoso método de división euclidiana, que en el extranjero se denomina algoritmo euclidiano. Este método no solo proporciona un método para encontrar el máximo común divisor, sino que también nos ayuda a encontrar xey, de modo que ax+by=d. (4) Antes de explicar el principio general, veamos el siguiente ejemplo. Partiendo de encontrar el máximo común divisor de 42897 y 18644: 42897=2×18644+5609, (i) 18644=3×5609+ 1817 , (ii) 5609=3×1817+158, (iii) 1817=11×158+79, (iv) 158= 2×79. El máximo común divisor calculado de esta forma es 79. Busquemos ahora x e y de modo que 42897x+18644y=79. De (iv), sabemos que 1817-11×158=79. Sustituyendo la expresión 158 en la ecuación (iii) en esta ecuación, obtenemos 79=1817-11(5609-3×1817) =34 × 1817-11×5609． Sustituyendo la expresión 1817 en la ecuación (ii), obtenemos 79=34×(18644-3×5609)-11×5609 = 34 ×18644-113×5609． Sustituyendo la expresión 5609 en la ecuación (i), obtenemos 79=34×18644-113×(42897-2×18644) = 260 ×18644-113×42897． Es decir, x=-113, y=260. Aunque se trata de un caso especial, también ilustra la teoría general. La teoría general es: escribir el método de división euclidiana como a=a0b+r, b=a1r+r1, r=a2r1+r2, r1=a3r2+r3, ………… r(n-1)=a(n+1)r(n)+r ( n+1), r(n)=a(n+2)r(n+1). Esto lleva al máximo común divisor d=r (n+1). De la penúltima fórmula, r(n+1) se puede expresar como la fórmula lineal de r(n-1) y r(n), y luego Vuelva a una expresión lineal que pueda expresarse como r (n-2), r (n-1),..., y finalmente exprésela como una expresión lineal de a y b. Es decir, poner d en un lado de la ecuación y sustituir continuamente el otro lado en la ecuación anterior. Finalmente, se puede encontrar un conjunto de valores (x, y) tal que ax+. por=d. establecido. Así, la ecuación de Bay queda demostrada. (Combinado con los ejemplos específicos anteriores, será más fácil de entender si lo sustituye usted mismo y lo deduce)