Una rama de las matemáticas
Más significados
Más imágenes (2)
La geometría diferencial es el uso de la teoría del cálculo. Rama de las matemáticas que estudia las propiedades geométricas del espacio. La geometría diferencial clásica estudia curvas y superficies en un espacio tridimensional, mientras que la geometría diferencial moderna comienza a estudiar espacios más generales, como las variedades. La geometría diferencial está estrechamente relacionada con otras ramas de las matemáticas como la topología y tiene una influencia importante en el desarrollo de la física. La teoría general de la relatividad de Einstein se basa en la geometría de Riemann en geometría diferencial.
Compartir
La historia de la geometría diferencial
Origen
El surgimiento y desarrollo de la geometría diferencial están estrechamente relacionados con el cálculo. El primero que contribuyó en este ámbito fue el matemático suizo L. Euler. En 1736 introdujo por primera vez el concepto de coordenadas intrínsecas de una curva plana, es decir, utilizando como coordenadas la cantidad geométrica de la longitud del arco de la curva. de los puntos de la curva, y aquí es donde comenzamos a estudiar la geometría intrínseca de las curvas. A principios del siglo XIX, el matemático francés Gaspar Monge aplicó por primera vez el cálculo al estudio de curvas y superficies y publicó el libro "Análisis en geometría" en 1807, que fue el primer trabajo sobre geometría diferencial. En estos estudios podemos ver que las crecientes necesidades de la mecánica, la física y la industria son factores que impulsan el desarrollo de la geometría diferencial.
Desarrollo
En 1827, el matemático alemán Gauss publicó el libro "Investigación general sobre superficies", que fue de gran importancia en la historia de la geometría diferencial. Teoría de la superficie. Gauss dominó los conceptos más importantes y los contenidos básicos de la geometría diferencial y estableció la geometría intrínseca de las superficies. Su idea principal es enfatizar algunas propiedades de la superficie que solo dependen de la primera forma básica, como la longitud de la curva en la superficie, el ángulo entre dos curvas, el área de un área determinada en la superficie, geodésicas. , curvatura geodésica, curvatura total, etc.
En 1854, el matemático alemán B. Riemann extendió la teoría de Gauss al espacio N-dimensional en su discurso inaugural. Este fue el nacimiento de la geometría riemanniana. Más tarde, muchos matemáticos, entre ellos E. Beltrami, E. B. Christoffel, R. Lipschitz, L. Bianchi y T. Ricci, comenzaron a seguir las ideas de Riemann. Entre ellos, Bianchi fue el primer autor con el título "Geometría diferencial".
En 1870, cuando el matemático alemán Felix Klein pronunció su discurso inaugural en la Universidad de Erlangen en Alemania, elaboró su Programa de Erlangen y utilizó grupos de transformación para modificar la geometría clasificada. En el medio siglo posterior a la publicación del Programa de Erlangen, se convirtió en el principio rector de la geometría, promovió el desarrollo de la geometría y condujo al establecimiento de la geometría diferencial proyectiva, la geometría diferencial afín y la geometría diferencial * *. En particular, la geometría diferencial proyectiva comenzó con el artículo de Alfan en 1878, la escuela estadounidense representada por Wilsinski en 1906 y la escuela italiana encabezada por Fubini en 1916. Blaschke también realizó un trabajo decisivo en la geometría diferencial afín.
Geometría diferencial global
El matemático francés E. Catan enfatizó el concepto de conexión en geometría diferencial y estableció el concepto de diferencial externo. Este es un trabajo fundamental en la geometría diferencial general. Posteriormente, el matemático chino Chen Shengshen extendió el teorema de Gauss-Bonnet a superficies curvas desde la perspectiva de la diferenciación externa. Desde entonces, la geometría diferencial se ha convertido en un campo indispensable de las matemáticas modernas.
Contenido básico
La geometría diferencial toma como objeto de investigación las curvas (superficies) suaves, por lo que toda la geometría diferencial se desarrolla a partir de conceptos como la longitud del arco de la curva y la recta tangente. en un punto de la curva. Dado que la geometría diferencial estudia las propiedades de curvas y superficies generales, la curvatura de una curva plana en un punto y la curvatura de una curva espacial en un punto son discusiones importantes en geometría diferencial. Es necesario utilizar métodos diferenciales para calcular la curvatura de. cada punto de una curva o superficie.
Hay dos conceptos importantes en la superficie, a saber, distancia y ángulo en la superficie. Por ejemplo, existen innumerables caminos de un punto a otro en una superficie, pero solo hay un camino más corto entre estos dos puntos, lo que se llama geodésica de un punto a otro. En geometría diferencial, debemos discutir cómo determinar si una curva en una superficie es una geodésica de esta superficie y también discutir las propiedades de las geodésicas. Además, discutir la curvatura de la superficie en cada punto también es una parte importante de la geometría diferencial.
Geometría diferencial
En geometría diferencial, para discutir las propiedades de la vecindad de cada punto en una curva arbitraria, a menudo se utiliza el llamado "método escalar activo".
Para estudiar las propiedades de "pequeño rango" de cualquier curva, también podemos "transformar" esta curva en una curva elemental mediante transformación topológica.
En geometría diferencial, debido a la aplicación de la teoría del análisis matemático, los infinitesimales de orden superior pueden omitirse dentro de un rango infinitesimal, algunas dependencias complejas pueden volverse lineales y los procesos desiguales también pueden volverse uniformes. Estos son métodos de investigación únicos de geometría diferencial.
Aplicación e influencia
En los tiempos modernos, debido al estudio de la geometría diferencial y las propiedades generales de las curvas y superficies en el espacio de alta dimensión, la geometría diferencial está estrechamente relacionada con la topología, teoría de la variación, teoría de grupos de Lie, etc. Estos campos matemáticos se compenetran con la geometría diferencial y se convierten en uno de los temas centrales de las matemáticas modernas.
La geometría diferencial se ha utilizado ampliamente en mecánica y en algunos problemas técnicos de ingeniería. Por ejemplo, en la aplicación de estructuras elásticas de carcasa delgada y la teoría de engranajes mecánicos, la teoría de la geometría diferencial se ha aplicado completamente.
El estudio de la geometría diferencial ha tenido un impacto inconmensurable en las matemáticas, la mecánica, la física y otras ramas de la ingeniería. Por ejemplo, la geometría de la pseudoesfera está estrechamente relacionada con la geometría no euclidiana; las geodésicas están profundamente relacionadas con la mecánica, el cálculo de variaciones y la topología, y son un rico tema de investigación. En este campo, los resultados de las investigaciones dirigidas por J. Adama, H. Poincaré y otros han sido fructíferos. Las superficies mínimas son un campo de investigación profundamente relacionado con la teoría de funciones variables complejas, la teoría de la variación y la topología. K. Weierstrass y J. Douglas han realizado contribuciones destacadas.
Geometría diferencial