1. Preguntas de opción múltiple (esta pregunta vale 36 puntos, cada pregunta vale 6 puntos)
1. El valor mínimo de la función es (C)
A. 0b. 1C. 2D. 3
[Solución] Cuando , , por lo tanto
, la ecuación anterior toma el signo igual si y solo si . Y esta ecuación tiene solución, por lo que el valor mínimo es 2.
2. Supongamos que, si, entonces el rango de valores del número real es (D)
A. B. DO. D.
[Solución] Como hay dos raíces reales
, ,
Entonces es equivalente a y, es decir,
y ,
p>
Se obtiene la solución.
3. Dos personas, A y B, tienen un partido de tenis de mesa. Se acuerda que el ganador de cada juego obtendrá 1 punto y el perdedor obtendrá 0 puntos. El juego se detendrá cuando una persona tenga 2 puntos más que la otra o 6. Se han jugado juegos. Suponiendo que la probabilidad de que A gane en cada juego es, la probabilidad de B de ganar en cada juego es, y que las ganancias y pérdidas de cada juego son independientes entre sí, entonces la expectativa del número de juegos jugados cuando el juego se detiene es (B )
A. B. C. D.
[Solución 1] Según la pregunta, todos los valores posibles de son 2, 4, 6.
Supongamos que cada dos juegos es una ronda, el juego se detendrá al final de la ronda. La probabilidad es
.
Si el juego continúa al final de la ronda, entonces A y B anotarán un punto cada uno en la ronda. En este momento, el resultado de esta ronda no influye en si se jugará la siguiente ronda. ser detenido. Entonces hay
,
,
,
so .
[Solución 2] Según la pregunta, todos los valores posibles de son 2, 4, 6.
Supongamos que A ganó en el primer juego, entonces significa que B ganó en el primer juego Gana la competencia.
De la independencia y de la incompatibilidad mutua,
,
,
,
Entonces.
4. Si la suma de las áreas de superficie de tres cubos con longitudes de aristas enteras (unidad: cm) es 564 cm2, entonces la suma de los volúmenes de los tres cubos es (A)
A. cm3 B. 764 cm3
C. 586 cm3 o 564 cm3 D. 586 cm3
[Solución] Supongamos que las longitudes de las aristas de estos tres cubos son respectivamente, entonces tenemos, También podríamos suponer, por lo tanto,. Por lo tanto. Sólo puedes tomar 9, 8, 7, 6.
Si, entonces, es fácil saber que se obtiene un conjunto de soluciones.
Si, entonces,. Pero, así o 5． Si, entonces no hay solución para, si, entonces no hay solución para. No hay solución en este momento.
Si, entonces, existe una solución única, .
Si, entonces, en este momento,. Por tanto, pero, por tanto, no hay solución en este momento.
Resumiendo, existen dos soluciones para *** o
El volumen es cm3 o cm3.
5． El número de soluciones racionales del sistema de ecuaciones es (B)
A.
4
[Solución] Si , entonces resuelve para obtener o
Si , entonces obtiene de . ①
Desde ． ②
Sustituye ② en . ③
Obtenido de ①, sustituye ③ para simplificar y obtener.
Es fácil saber que no hay raíces racionales, entonces, se obtiene de ①, y se obtiene de ②, lo cual es contradictorio, entonces este sistema de ecuaciones** *Hay dos conjuntos de soluciones de números racionales o
6. Supongamos que los lados opuestos a los ángulos interiores están en una secuencia geométrica, entonces el rango de valores de es
( C )
A.
D.
[Solución] Supongamos que la razón común es, entonces, y
.
Por lo tanto, sólo se requiere el rango de valores de.
Debido a que es una secuencia geométrica, el lado mayor solo puede ser o , por lo que para formar los tres lados de un triángulo, es necesario y solo es necesario y . Es decir, existe un grupo de desigualdades
es decir,
La solución es
Así, el rango de valores buscado es .
2. Preguntas para completar en blanco (la puntuación total de esta pregunta es de 54 puntos, cada pregunta es de 9 puntos)
7. Supongamos, donde es un número real, , , , si, entonces 5 .
[Solución] Del significado de la pregunta,
,
Tenemos , , por lo tanto, , .
8． Sea entonces el valor mínimo de .
[Solución]
,
Cuando (1), se toma el valor mínimo en ese momento
(2), se toma el valor mínimo en ese momento Valor 1;
Cuando (3), se toma el valor mínimo en ese momento.
Además, cuando o, el valor mínimo de no puede ser,
Entonces, la solución es (descartar).
9． Si se asignan 24 cuotas de voluntarios a 3 escuelas, entonces hay 222 formas de asignar al menos una cuota a cada escuela y las cuotas para cada escuela son diferentes.
[Solución 1] Usa los espacios entre los 4 palos para representar las 3 escuelas y úsalos para representar la cuota. Por ejemplo,
significa que la primera, segunda y tercera escuela tienen 4, 18 y 2 plazas respectivamente.
Si cada " " y cada " " se consideran una posición, dado que los extremos izquierdo y derecho deben ser "|", diferentes métodos de asignación equivalen a que una posición (excluyendo los dos extremos) sea A " método de toma de posición" ocupado por 2 "|".
"El método de dividir cada escuela con al menos una cuota" equivale a seleccionar 2 de los 23 espacios entre los 24 " " e insertar "|" en ellos, por lo que hay un tipo.
Además, existen 31 métodos de asignación para "al menos un cupo para cada escuela" y "al menos dos escuelas con el mismo número de cupos".
En resumen, existen 253-31=222 métodos de distribución que cumplen las condiciones.
[Solución 2] Supongamos que el número de plazas asignadas a tres colegios es , entonces el número de puntos para que cada colegio tenga al menos una plaza es una ecuación indefinida
.
El número de soluciones enteras positivas, es decir, el número de soluciones enteras no negativas de la ecuación, que es igual a la combinación recombinable de 21 elementos de 3 elementos diferentes:
.
Además, existen 31 métodos de asignación para "al menos dos escuelas con el mismo número de plazas" en el "método de división de al menos una cuota para cada escuela".
En resumen, existen 253-31=222 métodos de distribución que cumplen las condiciones.
10. Supongamos que la suma de los términos anteriores de la secuencia satisface: , , entonces el término general = .
[Solución] ,
Es decir, 2
= ,
De esto obtenemos 2.
Sea , ( ),
>
Hay, así, entonces.
11. Supongamos que es una función definida en , si y para cualquiera satisface
, entonces = .
[Solución 1] Por las condiciones de la pregunta,
se conoce,
por lo tanto, existe, entonces
.
[Solución 2] Sea, entonces
,
,
Es decir,
Por lo tanto,
p>
Es una función periódica con período 2,
Entonces.
12. Una bola pequeña con un radio de 1 puede moverse libremente en todas las direcciones en un recipiente tetraédrico regular con una longitud de borde de pared interior de . Entonces, el área de la pared interior del recipiente que la bola pequeña nunca puede tocar es .
[Solución] Como se muestra en la Figura 1 de 12, considere la situación cuando la pelota se aprieta en una esquina, registre el radio de la pelota como, haga un plano // plano, tangente a la pelota en un punto, luego la pelota El centro de la esfera es el centro del tetraedro regular, y el pie vertical es el centro de .
Porque
,
Por tanto .
Recuerda que el punto tangente entre la bola y la superficie en este momento es , y la conexión es, entonces
.
Considere la situación en la que la pelota es tangente a una superficie del tetraedro regular (que puede tomarse como ). Es fácil ver que la trayectoria del punto tangente de la pelota a la superficie más cercana a. el borde sigue siendo un triángulo equilátero, registrado como , como se muestra en la Figura 12. Tenga en cuenta que la longitud de la arista de un tetraedro regular
es y se escribe como .
Porque lo hay, por lo que la longitud del lado del triángulo pequeño es .
El área de la parte donde la pelota y la superficie no pueden entrar en contacto es (como el área sombreada en la Figura 2 de la Respuesta 12)
.
Y , , entonces
．
Debido a la simetría y el tetraedro regular tiene 4 caras, el área de la pared interior del recipiente que la bola no puede tocar es.
3. Responde las preguntas (la puntuación total de esta pregunta es de 60 puntos y cada pregunta es de 20 puntos)
13. Se sabe que la gráfica de la función tiene y tiene sólo tres puntos de intersección con la recta, y el valor máximo de la abscisa del punto de intersección es .
[Prueba] Los tres puntos de intersección de la imagen de y la línea recta son como se muestra en la Figura 13, y son tangentes dentro de , y sus puntos tangentes son , .
…5 puntos
Ya que , , entonces , es decir . …10 puntos
Por lo tanto
…15 puntos
. …20 puntos
14． Resolver desigualdades
.
[Solución 1] Desde , y es una función creciente en , por lo que la desigualdad original es equivalente a
.
Eso es. ...5 puntos
Descomposición de grupo
, ...10 puntos
Entonces ,
. ...15 puntos
Entonces, es decir, o.
Entonces el conjunto solución de la desigualdad original es . …20 puntos
[Solución 2] De , y es una función creciente en , por lo que la desigualdad original es equivalente a
. ...5 puntos
Es decir,
,
, ...10 puntos
Sea la desigualdad
,
Obviamente, lo anterior es una función creciente, por lo que la desigualdad anterior es equivalente a
, ...15 puntos
Es decir, , la solución es (descartar),
Entonces el conjunto solución de la desigualdad original es . …20 puntos
15． Como se muestra en la figura de la pregunta 15, es un punto en movimiento en la parábola, el punto está en el eje y el círculo está inscrito en , encuentre el valor mínimo del área de.
[Solución] Suponga, también podría asumir.
La ecuación de la recta: ,
Simplificada para obtener ．
La distancia desde el centro del círculo hasta ,
De manera similar. ...10 puntos
Entonces, entonces
.
Como es un punto en la parábola, existe , entonces
, . ...15 puntos
Entonces
.
Cuando , la ecuación anterior toma el signo igual, entonces .
Por lo tanto el valor mínimo de es 8.