La teoría de números abarca el período 1000-2000. al período medio, y hay casi un espacio en blanco alrededor del año 2000. El período medio se refiere principalmente a los siglos XV-XVI al siglo XIX, incluidos Fermat, Mersenne, Euler, Gauss, Legendre, Riemann y Greek.
La idea principal es encontrar la fórmula general de los números primos. Comenzó a pasar de la teoría de números elemental a la teoría analítica de números y la teoría algebraica de números, lo que resultó en conjeturas cada vez más irresolubles. la fórmula general de los números primos, como la hipótesis de Riemann. Si se encuentra la fórmula general de los números primos, algunos problemas difíciles se pueden transferir de la teoría analítica de números a la teoría elemental de números.
A finales del día 18. siglo, los matemáticos han acumulado mucho conocimiento disperso sobre las propiedades de los números enteros, pero aún no se ha encontrado el patrón para generar números primos. El matemático alemán Gauss reunió los resultados de sus predecesores y escribió un libro llamado "Investigación sobre aritmética". ", que envió a 1800. La Academia de Ciencias de Francia, pero la Academia de Ciencias de Francia rechazó la obra maestra de Gauss, por lo que Gauss tuvo que publicarla él mismo en 1801. Este libro marcó el comienzo de una nueva era de la teoría de números moderna. En la investigación aritmética, Gauss estandarizó los símbolos utilizados para estudiar las propiedades de los números enteros en el pasado. Se sistematizaron y generalizaron los teoremas existentes en ese momento, se clasificaron los problemas a estudiar y los métodos conocidos, y se introdujeron nuevos métodos en este libro. la teoría de la congruencia y descubrió la famosa mutualidad cuadrática. La ley de igualdad se conoce como la "levadura de la teoría de números".
Cuando Riemann estudió la función ζ, descubrió la profunda conexión entre las propiedades analíticas de las variables complejas. funciones y la distribución de números primos, introduciendo así la teoría de números en el análisis. Los principales representantes en este campo son los famosos teóricos de números británicos Hardy, Little Wood, Ramanujan, etc. En China, están Hua, Chen Jingrun, etc. p>
Por otro lado, debido a que la gente prestó atención a la demostración del último teorema de Fermat y se desarrolló el tema de investigación de la teoría algebraica de números, Kummer propuso, por desgracia, el concepto de números ideales. El teorema de descomposición único de los anillos de expansión algebraicos fue ignorado en ese momento). Gauss estudió la teoría de los enteros complejos de Gauss. También explotó las propiedades de la teoría de números algebraica de los anillos extendidos en el caso cúbico. La teoría algebraica de números fue el informe de Hilbert sobre la teoría de números.
Con las matemáticas, con la profundización de las herramientas, la teoría de números comenzó a estar profundamente conectada con la geometría algebraica y finalmente se convirtió en la teoría matemática más profunda de la actualidad, como la teoría de números. Geometría aritmética algebraica, que finalmente unificó muchos métodos y puntos de vista de investigación anteriores, y llevó a cabo investigaciones y debates desde una perspectiva superior.
Debido al desarrollo de la informática moderna y las matemáticas aplicadas, la teoría de números se ha utilizado ampliamente. Por ejemplo, muchos resultados de investigación dentro del ámbito de la teoría elemental de números se utilizan ampliamente en métodos de cálculo, codificación algebraica, teoría combinatoria, etc. También se informa en la literatura que algunos países utilizan el "teorema de Sun Tzu" para medir distancias, y Utilice raíces y exponentes primitivos para calcular transformadas de Fourier discretas. Además, muchos resultados de investigaciones profundas sobre la teoría de números también se han aplicado en análisis aproximados, conjuntos de diferencias, transformaciones rápidas, etc. Especialmente gracias al desarrollo de las computadoras, ha sido posible utilizar el cálculo de cantidades discretas para aproximar cantidades continuas y lograr la precisión requerida.