-Demostración del teorema de Pitágoras
El teorema de Pitágoras es una perla en geometría, por lo que está lleno de encanto. Durante miles de años, la gente ha estado ansiosa por demostrarlo, incluidos matemáticos famosos, matemáticos aficionados, gente común, dignatarios distinguidos e incluso presidentes de países. Quizás sea precisamente por su importancia, simplicidad y atractivo que el Teorema de Pitágoras ha sido publicitado y demostrado cientos de veces. En 1940 se publicó un álbum de fotografías de demostraciones del teorema de Pitágoras, que recopilaba 367 métodos de demostración diferentes. De hecho, es más que eso. Los datos muestran que hay más de 500 formas de demostrar el teorema de Pitágoras, y Hua Hua, un matemático de finales de la dinastía Qing, proporcionó más de 20 maravillosos métodos de demostración. Esto no tiene comparación con ningún teorema.
Entre estos cientos de métodos de prueba, algunos son muy maravillosos, otros son muy concisos y algunos son muy famosos debido a la identidad especial del testigo.
Primero, se presentan las dos demostraciones más interesantes del teorema de Pitágoras, que se dice que provienen de China y Grecia respectivamente.
1 método chino
Dibuja dos cuadrados con longitudes de lados (a+b), como se muestra en la figura, donde A y B son lados rectángulos y C es la hipotenusa. Los dos cuadrados son congruentes, por lo tanto sus áreas son iguales.
Las imágenes de la izquierda y la derecha tienen cada una cuatro triángulos que son iguales a los triángulos rectángulos originales. La suma de las áreas de los triángulos izquierdo y derecho debe ser igual. Si se eliminaran los cuatro triángulos de las figuras izquierda y derecha, las áreas de las partes restantes de las figuras serían iguales. Quedan dos cuadrados a la izquierda, con A y B como lados. A la derecha hay un cuadrado de lado C. Por lo tanto
a2+b2=c2.
Este es el método presentado en nuestro libro de texto de geometría. Intuitivo y sencillo, todo el mundo puede entenderlo.
2. Método griego
Dibuja un cuadrado directamente en los tres lados de un triángulo rectángulo, como se muestra en la imagen.
Es fácil de ver,
△ABA '≔△AA ' ' C .
Dibuja una línea vertical a través de C hasta a' b ', cruza AB en C' y A' b' en C'.
Las alturas de la base de △ABA′ y el cuadrado ACDA′′ son iguales, y el primero es la mitad del área del segundo. Las alturas de la base de △AA′″C y el rectángulo AA′″. C″ son iguales, y el primero es el área del segundo. De △ABA '≔△AA '' C, sabemos que el área del cuadrado ACDA ' es igual al área de . rectángulo AA''C''C' De manera similar, el área del cuadrado BB'EC es igual al rectángulo b'' BC'' C. ''
Entonces,
S cuadrado AA''B''B=S cuadrado ACDA'+S cuadrado BB'EC,
También es a2+b2=c2
En cuanto a. siendo el área de un triángulo la mitad del área de un rectángulo con la misma base y altura, se puede obtener utilizando el método de cortar y rellenar (pruébelo usted mismo. Solo se utiliza una relación de área simple). Aquí no se trata de la fórmula del área de triángulos y rectángulos.
Esta es la prueba dada por el antiguo matemático griego Euclides en "Elementos de geometría".
Los dos métodos de prueba anteriores. son maravillosos porque usan pocos teoremas y solo usan dos conceptos básicos de área:
(1) Las áreas de congruencia son iguales;
(2) Dividir una figura en varias partes. , La suma de las áreas de cada parte es igual al área de la figura original.
Este es un concepto completamente aceptable y sencillo que cualquiera puede entender.
Los matemáticos chinos. Hay muchos métodos para demostrar el teorema de Pitágoras de todas las épocas y hay muchas ilustraciones del teorema de Pitágoras. Entre ellos, Zhao Shuang (es decir, Zhao) demostró el teorema de Pitágoras en su artículo "Ilustración del teorema de Pitágoras". adjunto a "Zhou Bi Suan Jing". Método de relleno:
Como se muestra en la imagen, los cuatro triángulos rectángulos de la imagen están pintados con cinabrio, el pequeño cuadrado en el medio está pintado con amarillo, que es. llamado amarillo sólido en el medio, y el cuadrado con el acorde como lado se llama La cuerda es sólida Luego, después de unir y combinar, confirmó que la relación entre los acordes de Pitágoras es consistente con el teorema de Pitágoras, es decir, ". Las hebras pitagóricas se multiplican entre sí y son sólidas, por lo que el cuadrado es una cuerda". ”
La demostración del teorema de Pitágoras de Zhao Shuang muestra que los matemáticos chinos tienen ideas magníficas para demostrar problemas, que son concisas e intuitivas.
Muchos estudiosos occidentales han estudiado el teorema de Pitágoras. Se dieron métodos, entre los cuales Pitágoras dio la prueba más antigua documentada. Se dice que cuando demostró el teorema de Pitágoras, estaba tan feliz que mató cien vacas para celebrarlo.
Por lo tanto, los países occidentales también llaman al Teorema de Pitágoras el "Teorema de las cien vacas". Desafortunadamente, el método de prueba de Pitágoras se perdió hace mucho tiempo y no tenemos forma de conocerlo.
La siguiente es la demostración del Teorema de Pitágoras de Garfield, el vigésimo presidente de los Estados Unidos.
Como se muestra en la figura,
s trapecio ABCD= (a+b)2
= (a2+2ab+b2), ①
Y S trapezoide ABCD=S△AED+S△EBC+S△CED.
= ab+ ba+ c2
= (2ab+c2).②
Comparando las dos fórmulas anteriores, podemos obtener
a2 +b2=c2 .
Esta prueba es bastante simple porque usa la fórmula del área del trapezoide y la fórmula del área del triángulo.
En abril de 1876, Garfield publicó su demostración del Teorema de Pitágoras en el New England Journal of Education. Cinco años después, Garfield se convirtió en el vigésimo presidente de los Estados Unidos. Más tarde, para conmemorar su prueba intuitiva, simple, fácil de entender y clara del teorema de Pitágoras, la gente llamó a esta prueba la prueba "presidencial" del teorema de Pitágoras, y se convirtió en una buena historia en la historia de las matemáticas. .
Después de estudiar triángulos semejantes, sabemos que en un triángulo rectángulo, la altura de la hipotenusa divide el triángulo rectángulo en dos triángulos rectángulos que son semejantes al triángulo original.
Como se muestra en la figura, en Rt△ABC, ∠ ACB = 90. Sea CD⊥BC, y base en d.Government
△BCD∽△BAC, △CAD∽△BAC.
¿Podemos obtener BC2=BD de △BCD∽△BAC? BA, ①
AC2=AD se puede obtener de △CAD∽△BAC? AB .②
Encontramos que sumando ① y ②, podemos obtener.
BC2+AC2=AB(AD+BD),
Y AD+BD=AB,
Entonces BC2+AC2=AB2, también Eso es
a2+b2=c2.
Esta también es una forma de demostrar el teorema de Pitágoras, y además es muy sencilla. Utiliza el conocimiento de triángulos similares.
En las muchas demostraciones del Teorema de Pitágoras, la gente también cometerá algunos errores. Si alguien da el siguiente método para demostrar el teorema de Pitágoras:
Según el teorema del coseno, sea △ABC, ∠c = 90°
c2=a2+b2-2abcosC,< /p >
CosC=0, porque ∠ c = 90. Por lo tanto
a2+b2=c2.
Este método de prueba aparentemente correcto y simple en realidad comete el error de la teoría de prueba circular. La razón es que la demostración del teorema del coseno proviene del teorema de Pitágoras.
La gente está interesada en el Teorema de Pitágoras porque puede generalizarse.
Euclides dio una generalización del teorema de Pitágoras en "Elementos de geometría": "El área de un lado recto sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es el área de dos lados rectos semejantes sobre dos ángulos rectos. La suma de las áreas de los lados."
Del teorema anterior se puede deducir el siguiente teorema: “Si se hace un círculo teniendo como diámetro los tres lados de un triángulo rectángulo, el área del círculo con la hipotenusa como diámetro es igual al área del círculo que tiene como diámetro los dos lados rectángulos. La suma de las áreas de dos círculos.
El teorema de Pitágoras también se puede extender al espacio: Si los tres lados de un triángulo rectángulo se usan como lados correspondientes para hacer poliedros semejantes, entonces el área de la superficie del poliedro sobre la hipotenusa es igual a el área de superficie de los dos poliedros en los lados rectángulos La suma de las áreas de superficie.
Si se utilizan los tres lados de un triángulo rectángulo para formar una bola, el área de superficie de la bola sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de superficie de las dos bolas formadas sobre las dos lados en ángulo recto.
Y así sucesivamente.
Apéndice
En primer lugar, una breve introducción a "Zhou Pian·Ji Jing"
"Zhou Kuai Kuai Jing" es uno de los diez libros sobre cálculo. Escrito en el siglo II a. C., originalmente se llamaba "Zhou Jie" y es el trabajo astronómico más antiguo de China. Desarrolla principalmente la teoría de cubrir el cielo y el método del calendario de cuatro estaciones de esa época. A principios de la dinastía Tang, se prescribió como uno de los materiales didácticos del Imperial College, por lo que pasó a llamarse "Zhou Kuai". El principal logro matemático de "Zhouyi Suanjing" es la introducción del teorema de Pitágoras y su aplicación en la medición. El libro original no demostró el teorema de Pitágoras, pero la prueba fue dada por Zhao Shuang en "Zhou Zhuan·Pythagorean Fang Notes".
"El libro de los cambios Suan Jing" utiliza un algoritmo de fracción bastante complejo y un método de raíz cuadrada.
2. La historia de la demostración del teorema de Pitágoras por parte de Garfield
Una tarde de fin de semana de 1876, en los suburbios de Washington, D.C., un hombre de mediana edad estaba dando un paseo disfrutando el hermoso paisaje de la tarde. Entonces era un * * * de Ohio y miembro del partido Garfield. Mientras caminaba, de repente descubrió que en un pequeño banco de piedra cercano, dos niños estaban concentrados hablando de algo, discutiendo en voz alta y discutiendo en voz baja. Impulsado por la curiosidad, Garfield siguió el sonido y se acercó a los dos niños, tratando de descubrir qué estaban haciendo. Vi a un niño pequeño inclinándose y dibujando un triángulo rectángulo en el suelo con una rama. Entonces Garfield preguntó qué estaban haciendo. El pequeño dijo sin levantar la cabeza: "Disculpe señor, si los dos ángulos rectos de un triángulo rectángulo son 3 y 4 respectivamente, ¿cuál es la longitud de la hipotenusa?". Garfield respondió: "Es cinco". El niño volvió a preguntar: " Si los dos lados rectángulos son 5 y 7, entonces ¿cuál es la longitud de la hipotenusa de este triángulo rectángulo? "Garfield respondió sin pensar: "El cuadrado de la hipotenusa debe ser igual al cuadrado de 5 más el cuadrado de 7." El niño añadió. Dijo: "Señor, ¿puede decir la verdad?" Garfield se quedó sin habla por un momento, incapaz de explicar y muy infeliz.
Así que Garfield dejó de caminar e inmediatamente se fue a su casa para discutir el problema que le había planteado el pequeño. Después de pensar y calcular repetidamente, finalmente descubrió el motivo y dio un método de prueba conciso.
Citado de:/education/yanjiu/columna "Descubrimiento de las Matemáticas". La imagen no se puede volver a publicar, consulte el texto original.
Demostración encantadora del teorema
-Demostración del teorema de Pitágoras
El teorema de Pitágoras es una perla en geometría, por lo que está lleno de encanto. Durante miles de años, la gente ha estado ansiosa por demostrarlo, incluidos matemáticos famosos, matemáticos aficionados, gente común, dignatarios distinguidos e incluso presidentes de países. Quizás sea precisamente por su importancia, simplicidad y atractivo que el Teorema de Pitágoras ha sido publicitado y demostrado cientos de veces. En 1940 se publicó un álbum de fotografías de demostraciones del teorema de Pitágoras, que recopilaba 367 métodos de demostración diferentes. De hecho, es más que eso. Los datos muestran que hay más de 500 formas de demostrar el teorema de Pitágoras, y Hua Hua, un matemático de finales de la dinastía Qing, proporcionó más de 20 maravillosos métodos de demostración. Esto no tiene comparación con ningún teorema.
Entre estos cientos de métodos de prueba, algunos son muy maravillosos, otros son muy concisos y algunos son muy famosos debido a la identidad especial del testigo.
Primero, se presentan las dos demostraciones más interesantes del teorema de Pitágoras, que se dice que provienen de China y Grecia respectivamente.
1 método chino
Dibuja dos cuadrados con longitudes de lados (a+b), como se muestra en la figura, donde A y B son lados rectángulos y C es la hipotenusa. Los dos cuadrados son congruentes, por lo tanto sus áreas son iguales.
Las imágenes de la izquierda y la derecha tienen cada una cuatro triángulos que son iguales a los triángulos rectángulos originales. La suma de las áreas de los triángulos izquierdo y derecho debe ser igual. Si se eliminaran los cuatro triángulos de las figuras izquierda y derecha, las áreas de las partes restantes de las figuras serían iguales. Quedan dos cuadrados en la imagen de la izquierda, con A y B como lados respectivamente. A la derecha hay un cuadrado de lado C. Por lo tanto
a2+b2=c2.
Este es el método introducido en nuestro libro de texto de geometría. Intuitivo y sencillo, todo el mundo puede entenderlo.
2. Método griego
Dibuja un cuadrado directamente en los tres lados de un triángulo rectángulo, como se muestra en la imagen.
Es fácil de ver,
△ABA '≔△AA ' ' C .
Dibuja una línea vertical a través de C hasta a' b ', cruza AB en C' y A' b' en C'.
Las alturas de la base de △ABA′ y el cuadrado ACDA′′ son iguales, y el primero es la mitad del área del segundo. Las alturas de la base de △AA′″C y el rectángulo AA′″. C″ son iguales, y el primero es el área del segundo. De △ABA '≔△AA '' C, sabemos que el área del cuadrado ACDA ' es igual al área de . rectángulo AA''C''C' De manera similar, el área del cuadrado BB'EC es igual al rectángulo b'' BC'' C. ''
Entonces,
S cuadrado AA''B''B=S cuadrado ACDA'+S cuadrado BB'EC,
También eso es a2+b2=c2.
En cuanto a que el área de un triángulo es la mitad del área de un rectángulo con la misma base y altura, se puede obtener usando el método de cortar y rellenar (compruébalo tú mismo) . Aquí sólo se utilizan relaciones de área simples y no se utilizan las fórmulas de área de triángulos y rectángulos.
Esta es la prueba aportada por el antiguo matemático griego Euclides en "Elementos de Geometría".
Los dos métodos de demostración anteriores son maravillosos porque usan pocos teoremas y solo usan dos conceptos básicos de área:
(1) Las áreas de congruencia son iguales
<; p>⑵ Divide una figura en varias partes y la suma de las áreas de cada parte es igual al área de la figura original.Este es un concepto perfectamente aceptable y sencillo que cualquiera puede entender.
Los matemáticos chinos de todas las épocas han utilizado muchos métodos para demostrar el teorema de Pitágoras, y también hay muchos diagramas del teorema de Pitágoras. Entre ellos, Zhao Shuang (también conocido como Zhao) demostró el teorema de Pitágoras en su. Teorema del artículo "Ilustraciones del teorema de Pitágoras", este artículo se adjunta a "Zhou Bi Suan Jing". Utilice el método de cortar y rellenar:
Como se muestra en la imagen, los cuatro triángulos rectángulos de la imagen están pintados con cinabrio y el pequeño cuadrado en el medio está pintado con amarillo. Se llama cuadrado con. un centro amarillo sólido y un acorde como lado llamado cuerda sólida. Luego, después de unir y combinar, confirmó que la relación entre las cuerdas de Pitágoras es consistente con el teorema de Pitágoras. Es decir, "las hebras de Pitágoras se multiplican entre sí y son cuerdas reales. Si se dividen por cuadrados, son cuerdas".
La demostración del teorema de Pitágoras por parte de Zhao Shuang muestra que los matemáticos chinos tienen ideas magníficas para demostrar problemas , conciso e intuitivo.
Muchos eruditos occidentales han estudiado el teorema de Pitágoras y han proporcionado muchos métodos de demostración. Entre ellos, Pitágoras proporcionó la prueba más antigua registrada por escrito. Se dice que cuando demostró el teorema de Pitágoras se puso tan feliz que mató cien vacas para celebrarlo. Por lo tanto, los países occidentales también llaman al Teorema de Pitágoras el "Teorema de las cien vacas". Desafortunadamente, el método de prueba de Pitágoras se perdió hace mucho tiempo y no tenemos forma de conocerlo.
La siguiente es la demostración del Teorema de Pitágoras de Garfield, el vigésimo presidente de los Estados Unidos.
Como se muestra en la figura,
s trapecio ABCD= (a+b)2
= (a2+2ab+b2), ①
Y S trapezoide ABCD=S△AED+S△EBC+S△CED.
= ab+ ba+ c2
= (2ab+c2).②
Comparando las dos fórmulas anteriores, podemos obtener
a2 +b2=c2 .
Esta prueba es bastante simple porque usa la fórmula del área del trapezoide y la fórmula del área del triángulo.
En abril de 1876, Garfield publicó su demostración del Teorema de Pitágoras en el New England Journal of Education. Cinco años después, Garfield se convirtió en el vigésimo presidente de los Estados Unidos. Más tarde, para conmemorar su prueba intuitiva, simple, fácil de entender y clara del teorema de Pitágoras, la gente llamó a esta prueba la prueba "presidencial" del teorema de Pitágoras, y se convirtió en una buena historia en la historia de las matemáticas. .
Después de estudiar triángulos semejantes, sabemos que en un triángulo rectángulo, la altura de la hipotenusa divide el triángulo rectángulo en dos triángulos rectángulos que son semejantes al triángulo original.
Como se muestra en la figura, en Rt△ABC, ∠ ACB = 90. Sea CD⊥BC, y base en d.Government
△BCD∽△BAC, △CAD∽△BAC.
¿Podemos obtener BC2=BD de △BCD∽△BAC? BA, ①
AC2=AD se puede obtener de △CAD∽△BAC? AB .②
Encontramos que sumando ① y ②, podemos obtener.
BC2+AC2=AB(AD+BD),
Y AD+BD=AB,
Entonces BC2+AC2=AB2, también Eso es
a2+b2=c2.
Esta también es una forma de demostrar el teorema de Pitágoras, y además es muy sencilla. Utiliza el conocimiento de triángulos similares.
En las muchas demostraciones del Teorema de Pitágoras, la gente también cometerá algunos errores. Si alguien da el siguiente método para demostrar el teorema de Pitágoras:
Según el teorema del coseno, sea △ABC, ∠c = 90°
c2=a2+b2-2abcosC,< /p >
CosC=0, porque ∠ c = 90.
Por lo tanto
a2+b2=c2.
Este método de prueba aparentemente correcto y simple en realidad comete el error de la teoría de prueba circular. La razón es que la demostración del teorema del coseno proviene del teorema de Pitágoras.
La gente está interesada en el Teorema de Pitágoras porque puede generalizarse.
Euclides dio una generalización del teorema de Pitágoras en "Elementos de geometría": "El área de un lado recto sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es el área de dos lados rectos semejantes sobre dos ángulos rectos. La suma de las áreas de los lados."
Del teorema anterior se puede deducir el siguiente teorema: “Si se hace un círculo teniendo como diámetro los tres lados de un triángulo rectángulo, el área del círculo con la hipotenusa como diámetro es igual al área del círculo que tiene como diámetro los dos lados rectángulos. La suma de las áreas de dos círculos.
El teorema de Pitágoras también se puede extender al espacio: Si los tres lados de un triángulo rectángulo se usan como lados correspondientes para hacer poliedros semejantes, entonces el área de la superficie del poliedro sobre la hipotenusa es igual a el área de superficie de los dos poliedros en los lados rectángulos La suma de las áreas de superficie.
Si se utilizan los tres lados de un triángulo rectángulo para formar una bola, el área de superficie de la bola sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de superficie de las dos bolas formadas sobre las dos lados en ángulo recto.
Y así sucesivamente.