Postulado 1: Se puede trazar una línea recta desde cualquier punto a cualquier otro punto.
Postulado 2: Los segmentos de recta finitos se pueden extender continuamente.
Postulado 3: Teniendo cualquier punto como centro del círculo, se puede trazar un círculo a cualquier distancia.
Postulado 4: Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.
Postulado 5: Una recta corta a otras dos rectas en el mismo plano. Si la suma de los dos ángulos interiores de un lado es menor que la suma de los dos ángulos rectos, entonces las dos rectas se cortarán en ese lado después de extenderse infinitamente.
En estos cinco postulados, Euclides no asumió ingenuamente la existencia y compatibilidad de definiciones. Aristóteles señaló que los primeros tres postulados decían que se pueden construir líneas rectas y círculos, por lo que son declaraciones de la existencia de dos cosas. De hecho, Euclides utilizó este método de construcción para probar muchas proposiciones. El quinto postulado es detallado y no tan conciso y fácil de entender como los cuatro primeros. Lo que se proclama no es algo que existe, sino lo que pensaba Euclides. Esto es suficiente para mostrar su genio. En los 2100 años transcurridos desde que Euclides propuso este axioma hasta 1800, aunque la gente no dudaba de la exactitud de todo el sistema, siempre estuvo preocupada por este quinto postulado. Muchos matemáticos quieren eliminar este postulado de este sistema, pero sus esfuerzos han sido infructuosos y no pueden generalizar el quinto postulado a partir de otros postulados.
Al mismo tiempo, los matemáticos también notaron que este postulado no es solo una discusión sobre el concepto de paralelismo (por eso se llama axioma de paralelismo), sino también una discusión sobre la suma de los ángulos interiores. de un triángulo (es decir, el axioma del ángulo interior). Gauss lo sabía muy bien. Consideró que la geometría euclidiana del espacio material, que expuso en una carta a un amigo en 1799, indicaba que creía que el kilómetro paralelo no podía derivarse de otros postulados, y comenzó seriamente a desarrollar una nueva geometría a la que se podría aplicar. En 1813 se desarrollaron otras geometrías, inicialmente denominadas geometría antieuclidiana, más tarde denominada geometría del cielo estrellado y finalmente denominada geometría no euclidiana. En su geometría, los ángulos interiores de un triángulo pueden ser mayores a 180 grados. Por supuesto, Gauss no fue el único en llegar a esta geometría. Hay tres personas en la historia. Uno fue descubierto por su socio y el otro fue descubierto de forma independiente por el hijo del amigo de Gauss. Un problema interesante es que en geometría no euclidiana las líneas paralelas que pasan por un punto fuera de la línea recta pueden ser infinitas.