1. Gráficas y propiedades de funciones lineales
1. Práctica y gráfica: a través de los siguientes tres pasos.
(1) Lista [generalmente toma dos puntos y determina una línea recta en función de ellos]
(2) Puntos de seguimiento
(3) Conexión; Las líneas pueden hacer una imagen de una función: una línea recta. Entonces, la gráfica de una función lineal solo necesita conocer 2 puntos y conectarlos en una línea recta. (Generalmente encuentre la intersección de la imagen de la función y los ejes X e Y)
2 Propiedades: (1) Cualquier punto P(x, y) en la función lineal satisface la ecuación: y. =kx b(k≠ 0). (2) Las coordenadas de la intersección de la función lineal y el eje Y son siempre (0, b), y la imagen de la función proporcional siempre se cruza con el origen del eje X en (-b/k, 0 ).
3. Una función no es un número, se refiere a la relación entre dos variables en un proceso variable.
4. El cuadrante donde se ubican k, B y la gráfica de la función:
Cuando y=kx (es decir, b es igual a 0, y es proporcional a x)
Cuando k > 0, la línea recta debe pasar por el primer y tercer cuadrante, y y aumenta a medida que x aumenta;
Cuando k < 0, la línea recta debe pasar por el segundo y cuarto cuadrantes, y y Disminuye a medida que x aumenta.
Cuando y=kx b:
Cuando k gt0, b gt0, entonces la imagen de esta función pasa por el primer, segundo y tercer cuadrante.
Cuando k gt0, b lt0, entonces la imagen de esta función pasa por uno, tres o cuatro cuadrantes.
Cuando k < 0, b lt0, entonces la gráfica de esta función pasa por el segundo, tercer y cuarto cuadrante.
Cuando k < 0, b gt0, entonces la imagen de esta función pasa por el primer, segundo y cuarto cuadrante.
Cuando b > 0, la recta debe pasar por el primer y segundo cuadrante;
Cuando b < 0, la recta debe pasar por tres o cuatro cuadrantes;
Específicamente, cuando b=0, la recta que pasa por el origen o (0, 0) representa la imagen de la función de proporción.
En este momento, cuando k > 0, la línea recta solo pasa por uno o tres cuadrantes; cuando k < 0, la línea recta solo pasa por dos o cuatro cuadrantes.
4. Relación posicional especial
Cuando dos líneas rectas en el sistema de coordenadas cartesianas planas son paralelas, el valor k en la función de resolución (es decir, el coeficiente del primer término) es igual.
Cuando dos rectas en el plano sistema de coordenadas cartesiano son perpendiculares entre sí, el valor de k en la función de resolución es un recíproco negativo (es decir, el producto de los dos valores de k es -1).
2. Determina la expresión de la función lineal.
Dados los puntos A (x1, y 1); B (x2, y2), determina la función lineal que pasa por los puntos A. y B La expresión de...
(1) Sea la expresión de una función lineal (también llamada expresión analítica) y = kx b.
(2) Debido a que cualquier punto P(x, y) de la función lineal satisface la ecuación y = kx b Entonces podemos enumerar dos ecuaciones: y1 = kx1 b... ① e y2 = kx2. b…②.
(3) Resuelve esta ecuación lineal binaria y obtén los valores de k y b..
(4) Finalmente obtén la expresión de la función lineal.
Tres. Fórmulas de uso común
1. Encuentre el valor k de la imagen de la función: (y1-y2)/(x1-x2).
2. Encuentra el punto medio del segmento de recta paralelo al eje X: |x1-x2|/2.
3. Encuentra el punto medio del segmento de recta paralelo al eje Y: |y1-y2|/2.
4. Encuentra la longitud de cualquier segmento de recta: √ (x1-x2) 2 (y1-y2) 2 (Nota: la suma de los cuadrados de (x1-x2) y (y1-y2) bajo el signo raíz).
5. Encuentra las coordenadas de intersección de la imagen de la función cuadrática: Resuelve la función cuadrática.
Dos funciones lineales y1 = k 1x y 1 = y2 = k2x b2 de modo que y1x b1 = k2x b2 reemplazan el valor de la solución de x=x0 de nuevo a y 1 = k, y0) es y1=k1x b1 y y2 = k2x coordenada de intersección de B2.
6. Encuentra las coordenadas del punto medio del segmento de recta que conecta dos puntos cualesquiera: [(x1 x2)/2, (y1 y2)/2]
7. dos puntos cualesquiera La primera función de resolución es: (x-x 1)/(x 1-x2)=(y-y 1)/(y 1-y2) (donde el denominador es 0 y el numerador es 0).
k b
En los cuadrantes uno, dos y tres
-En los cuadrantes uno, tres y cuatro
-En los cuadrantes 1, 2 y 4
-En los cuadrantes 2, 3 y 4
8 Si dos rectas y 1 = k 1x b 1‖Y2 = K2x B2, Entonces k1=k2, b1≠. b2.
9. Si dos rectas y 1 = k 1x b 1⊥y2 = k2x B2, entonces k1×k2=-1.
10. Mueva X hacia la izquierda para representar B X y mueva X hacia la derecha para representar B-X.
11. Mueva Y hacia arriba hasta X Y y mueva Y hacia abajo hasta X-Y.
(Existe una regla. El valor del término B es igual a k multiplicado por la unidad de desplazamiento ascendente, menos el término original B.)
4. )
Las propiedades de la función lineal y=kx b son: (1) cuando k > 0, y aumenta a medida que x aumenta; (2) cuando k < 0, y disminuye a medida que x aumenta, The Los siguientes problemas se pueden resolver utilizando las propiedades de las funciones lineales.
Primero, determine el rango de valores del coeficiente de letras
Ejemplo 1. Dada la función de proporción, entonces cuando k
Solución: según la definición y las propiedades de la función de proporción, obtenemos m
En segundo lugar, compare el tamaño del valor X o el valor Y .
Ejemplo 2. Se sabe que los puntos P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) son dos puntos en la imagen de la función lineal y=3x 4, Y1 >: Y2, entonces la relación entre x1 y x2 es ().
A.x 1 gt; x2 b . No puedo estar seguro.
Solución: Según el significado de la pregunta, k = 3 gt0, y y 1 > y2. Según las propiedades de las funciones lineales "cuando k gt0, y aumenta con el aumento de x", x. 1 > x2. Entonces elige a.
En tercer lugar, determine la posición de la imagen de la función
Ejemplo 3. La función lineal y=kx b satisface kb > 0, y y disminuye a medida que x aumenta, entonces la imagen de esta función no pasa ().
A. El primer cuadrante b. El segundo cuadrante
C. El tercer cuadrante d. El cuarto cuadrante
Solución: A través de kb gt0, sabemos k tiene. el mismo número que b. Dado que y disminuye a medida que x aumenta, k
Ejemplo 1. Un resorte de 12 cm sin un objeto suspendido se estirará después de suspender un objeto. La longitud del alargamiento es proporcional a la masa del objeto suspendido. Si se suspende un objeto de 3 kg y la longitud total del resorte es de 13,5 cm, encuentre la relación funcional entre la longitud total del resorte y la masa del objeto suspendido x (kg). Si la longitud total máxima del resorte es
Análisis: este problema ha pasado de ser un problema cualitativo en física a un problema cuantitativo en matemáticas, y también es un problema práctico. El núcleo es que la longitud total del resorte es la suma de la longitud sin carga y la longitud de alargamiento después de la carga. El rango de valores de la variable independiente se puede manejar mediante longitud total máxima → alargamiento máximo → masa máxima y pensamiento práctico.
Solución: Establezca la función en y=kx 12 según el significado de la pregunta.
Entonces 13,5=3k 12, k=0,5.
La función de resolución es y=0,5x 12.
De 23=0,5x 12: x=22.
∴El rango de valores de la variable independiente x es 0≤x≤22.
Ejemplo 2
Una escuela necesita grabar algunos discos de computadora. Si se graba en una empresa de informática, cada disco costará 8 yuanes. Si la escuela lo hace por su cuenta, además de alquilar una grabadora por 120 yuanes, le costará 4 yuanes grabar cada disco. ¿Es más barato grabar estos CD en una empresa de informática o es más barato para la escuela grabarlos por sí misma?
Esta pregunta necesita considerar el rango de x.
Solución: Supongamos que el coste total sea Y yuanes y queme X copias.
Empresa de informática: Y1=8X
Escuela: Y2=4X 120
Cuando X=30, Y1=Y2.
Cuando las imágenes y las propiedades son puntos de conocimiento de nivel C en las explicaciones del examen de ingreso a la escuela secundaria, especialmente la búsqueda de funciones analíticas basadas en las condiciones de las preguntas y el uso del método de coeficiente indeterminado son puntos de conocimiento de nivel D en la escuela secundaria explicaciones del examen de ingreso. A menudo se combina con funciones proporcionales inversas, funciones y ecuaciones cuadráticas, ecuaciones y desigualdades, y aparece en las preguntas del examen de ingreso a la escuela secundaria en forma de preguntas de opción múltiple, preguntas para completar espacios en blanco y preguntas analíticas, que representan aproximadamente 8 puntos. Para resolver tales problemas, a menudo se utilizan métodos como la discusión de clasificación, la combinación de números y formas, ecuaciones y desigualdades.
Ejemplo 2. Si el rango de valores de x en la función lineal y = kx b es -2≤x≤6, entonces el rango de valores de la función correspondiente es -11≤y≤9. Encuentre la expresión analítica de esta función.
Solución: (1) Si k > 0, el sistema de ecuaciones puede ser -2k b=-11.
6k b=9
Si k=2.5 b=-6, entonces la relación funcional en este momento es y = 2.5x-6.
(2) Si k < 0, el sistema de ecuaciones puede ser -2k b=9.
6k b=-11
Si k=-2.5 b=4, entonces la función de resolución en este momento es y=-2.5x 4.
La clave para los puntos de cocción
Esta pregunta evalúa principalmente la comprensión de los estudiantes sobre las propiedades de las funciones. Si K > 0, Y aumentará a medida que X aumente; si k < 0, y disminuirá a medida que x aumente.
Varios tipos de funciones de resolución.
①ax por c=0【Fórmula general】
②y=kx b[oblicuo]
(k es la pendiente de la recta, b es la dirección longitudinal de la recta Intercepción, función proporcional b=0)
③y-y1=k(x-x1)[pendiente del punto]
(k es la pendiente de la recta recta, (x1, y1) son los puntos por los que pasa la recta)
④(y-y 1)/(y2-y 1)=(x-x 1)/(x2-x 1)[Dos- fórmula del punto]
(( x1, y1) y (x2, y2) son dos puntos en una línea recta)
⑤x/a-y/b=0[tipo de intersección]
(A y B son, respectivamente, intersecciones de líneas rectas en el eje X y el eje Y)
Limitaciones de las expresiones analíticas:
①Más requisitos (3);
②, ③ No se puede expresar una recta sin pendiente (una recta paralela a la de rectas.
Ángulo de inclinación: El ángulo entre el eje X y la recta (el ángulo formado por la recta y la dirección positiva del eje X) se denomina ángulo de inclinación de la recta. Supongamos que el ángulo de inclinación de la línea recta es a, entonces la pendiente de la línea recta es k=tg(a)