La afirmación correcta es
lim{n->oo} int[0, pi/2]f(x)*(1/2 cosx cos2x ... cosnx)dx = pi/2*f(0)
Por supuesto, es correcto sustituir primero la función constante y luego sumar las integrales término por término para encontrar el límite.
Para F general, primero se requiere la suma.
1/2 cosx cos2x ... cosnx = sin[(2n 1)x/2]/[2sin(x/2)]
Siempre que se pueda demostrar
lim{n->oo} int[0, pi/2][f(x)-f(0)]* sin[(2n 1)x/2]/[2sin(x/ 2)]dx = 0
Simplemente hazlo. En realidad
[f(x)-f(0)]* sin[(2n 1)x/2]/[2sin(x/2)]=[f(x)-f(0 ) ]/x * x/[2sin(x/2)]* sin[(2n 1)x/2]
Usando f en 0, podemos saber [f(x)-f(0) ]/x * x/[2sin(x/2)] es una función continua y la conclusión la establece el lema de Riemann.
Sin[(2n 1)x/2]/sin(x/2) se llama núcleo de Dirichlet. Si no estás familiarizado con esta parte, revisa la serie de Fourier.