Las reglas de operación del límite de una secuencia son las siguientes:
Requisito previo:
Cada secuencia tiene un límite;
Cuándo sumando y restando, debe ser La regla solo se puede usar para un número limitado de secuencias.
Las tres propiedades principales del límite:
La unicidad del límite, la acotación del límite y la preservación del orden del límite.
Definición de límite (descriptiva):
Si cuando el número de términos n aumenta infinitamente, el término an de la secuencia infinita se aproxima infinitamente a una determinada constante a (es decir, infinita está cerca de 0), a se llama el límite de la secuencia, que se puede registrar como cuando n→+∞, an→a.
Hay tres formas para que an esté infinitamente cerca de a:
En la secuencia creciente, an está infinitamente cerca de a, es decir, an está infinitamente cerca de a en el lado izquierdo de la constante a;
En la secuencia decreciente, an se acerca a a infinitamente, es decir, an se acerca a a infinitamente a la derecha de la constante a;
En la secuencia de oscilación , an se acerca infinitamente a a, es decir, an se acerca infinitamente a a en el proceso de oscilación infinita.
Definición estricta:
Es decir, la definición de ε-N: para cualquier número positivo ε (por pequeño que sea), siempre hay un número positivo N, como que cuando n>N, todo Si se satisface an, a se llama límite de la secuencia.
La explicación geométrica de "?xn? toma ?a? como límite":
Coloca la constante a y los elementos de la secuencia x1, x2,...,xn ,... en Encuentre el punto correspondiente en el eje numérico y luego dibuje un intervalo abierto (aε, a+ε) en el eje numérico.
Cuando ?n>N?, satisface ?|xn?a|<ε?, es decir, satisface ?a?ε