1+2+3+4+…+99+100=?
Después de que el maestro terminó el Problema, toda la clase Inmerso en el cálculo, Gao Xiaosi rápidamente calculó que la respuesta era 5050. ¿Por qué el cálculo gaussiano es rápido y preciso? Resulta que el pequeño Gauss descubrió mediante una cuidadosa observación:
1+100=2+99=3+98=…=49+52=551.
1 ~ 100 se puede dividir entre 50 logaritmos y la suma de cada logaritmo es igual. Por lo tanto, el pequeño Gauss calculó hábilmente este problema como
(1+100)×100÷2=5050.
El método de suma utilizado por Little Gauss es realmente ingenioso, simple y rápido, y es ampliamente aplicable al problema de suma de secuencias aritméticas.
La disposición de varios números en una fila se llama secuencia. Cada número de la secuencia se llama elemento, el primer elemento se llama primer elemento y el último elemento se llama último elemento. La diferencia entre el último término de una secuencia y el término anterior se llama secuencia aritmética, y la diferencia entre el último término y el término anterior se llama secuencia de tolerancia. Por ejemplo:
(1)1,2,3,4,5,…,100;
(2)1,3,5,7,9,…,99 ;
(3)8,15,22,29,36,…,71.
Entre ellos (1) hay una secuencia aritmética en la que el primer elemento es 1, el último elemento es 100 y una tolerancia de 1 (2) el primer elemento es 1 y el último elemento es 99; y la tolerancia es una secuencia aritmética de 2; (3) es una secuencia aritmética en la que el primer término es 8, el último término es 71 y la tolerancia es 7.
La fórmula de suma de la secuencia aritmética se obtiene mediante el inteligente método de cálculo de Gauss:
Suma = (primer término + último término) × número de términos ÷ 2.
Ejemplo 1 1+2+3+…+1999 =?
Solución analítica: Esta serie de sumandos 1, 2, 3,..., 1999 es una secuencia aritmética, el primer término es 1 y el último término es 1999. **Hay un número para 1999. Se puede obtener a partir de la fórmula de suma de secuencias aritméticas
Fórmula original = (1+1999)×1999÷2 = 199000.
Nota: Antes de utilizar la fórmula de suma de secuencias aritméticas, debes determinar si cada sumando en la pregunta forma una secuencia aritmética.
Ejemplo 2 11+12+13+…+31 =?
Solución analítica: Los sumandos de esta sucesión son 11, 12, 13,..., 31 es una sucesión aritmética, el primer término es 11, el último término es 31, **hay 36538.
Fórmula original = (11+31)×21÷2 = 441.
Cuando se utiliza la fórmula de suma de secuencias aritméticas, a veces el número de términos no está claro de un vistazo y primero es necesario encontrar el número de términos. Según la relación entre el primer artículo, el último artículo y la tolerancia, podemos obtener
Número de artículos = (último artículo - primer artículo) ÷ tolerancia + 1,
El último artículo = el primer artículo + tolerancia × (número de artículo-1).
Ejemplo 3 3+7+11+…+99 =?
Solución analítica: 3, 7, 11, ..., 99 es una secuencia aritmética con una tolerancia de 4,
Número de elemento = (99-3) ÷ 4+1 = 25 ,
Fórmula original = (3+99) × 25 ÷ 2 = 1275.
El ejemplo 4 encuentra la suma de los primeros 40 términos de la secuencia aritmética. El primer término es 25 y la tolerancia es 3.
Solución: El último término = 25+3× (40-1) = 142,
Y = (25+142) × 40 ÷ 2 = 3340.
Varios problemas relacionados con la suma de sucesiones aritméticas se pueden resolver utilizando las fórmulas para la suma de sucesiones aritméticas y las fórmulas para encontrar el número de términos y el último término.
En la siguiente imagen del Ejemplo 5, el área de cada triángulo equilátero más pequeño es 12 cm2 y la longitud del lado es 1 cerilla. Pregunta: (1) ¿Cuál es el área del triángulo más grande en centímetros cuadrados? (2) ¿De cuántas cerillas consta la figura completa?
Análisis: El triángulo más grande * * * tiene 8 capas.
Al oscilar de arriba a abajo, el número de triángulos pequeños en cada capa y el número de coincidencias utilizadas son los siguientes:
Como se puede ver en la tabla anterior, el número de triángulos pequeños en cada capa es una secuencia aritmética y la coincidencia de cada capa Los números también son secuencias aritméticas.
Solución: (1) El área máxima del triángulo es
(1+3+5+…+15)×12
=[(1+15) ) ×8÷2]×12
= 768 (centímetros cuadrados).
(2)El número de cerillas es
3+6+9+…+24
= (3+24) × 8 ÷ 2 = 108 (raíz).
Respuesta: El área del triángulo más grande es 768cm2, y toda la forma está compuesta por 108 cerillas.
Ejemplo 6 Hay tres pelotas de ping pong en la caja. Un mago saca una bola de la caja por primera vez, la convierte en tres bolas y la vuelve a colocar en la caja. La segunda vez, saqué dos bolas de la caja, reemplacé cada bola con tres bolas y las volví a poner en la caja... La décima vez, saqué diez bolas de la caja, reemplacé cada bola con Cambiar a tres. bolas y ponerlas de nuevo en la caja. ¿Cuántas pelotas de ping pong hay en la caja en este momento?
Análisis y solución: Una bola se convierte en tres bolas, que en realidad son dos bolas más. La primera vez hay 2 bolas más, la segunda vez hay 2×2 bolas más... La décima vez hay 2×10 bolas más. Entonces, después de comerlo diez veces, había mucho más.
2×1+2×2+…+2×10
=2×(1+2+…+10)
= 2× 55 = 110 (sólo).
Sumando las tres bolas originales, quedan bolas en la caja * * * 113 = 113 (únicamente).
La fórmula integral es:
(3-1)×(1+2+…+10)+3
= 2×[(1+ 10 )×10÷2]+3 = 113 (sólo).
Ejercicio 3
1. Calcula los siguientes problemas:
(1)2+4+6+…+200;
( 2)17+19+21+…+39;
(3)5+8+11+14+…+50;
(4)3+117 + 24+…+101.
2. Encuentra la suma de la secuencia aritmética con el primer término 5, el último término 93 y la tolerancia 4.
3. Calcula la suma de los primeros 30 términos de la secuencia aritmética. El primer término es 13 y la tolerancia es 5.
El reloj suena una vez cada hora, el número de campanadas es igual al número de horas y suena cada media hora. Pregunta: ¿Cuántas veces da el reloj de día y de noche?
5. Encuentra la suma de todos los números hasta 100 dividida entre 3 y 2.
6. Entre todos los números de dos dígitos, ¿cuántos dígitos son * * * mayores que los de un solo dígito?