Wang Yuerong, Campus Este de la Escuela Experimental de Shanghai
Llamamos dominio de la función al rango permitido de las variables independientes de una función. Entonces, ¿cómo encontrar el dominio de una función?
1. Cuando la expresión analítica es una expresión algebraica, x toma cualquier número real.
Ejemplo 1: Encuentra el dominio de las siguientes funciones: (1) y=-5x2, (2) y=3x 5,
Solución: (1) x son todas reales los números; (2)x son todos números reales.
2. Cuando la expresión analítica es una fracción, x es un número real con denominador distinto de cero.
Ejemplo 2. Encuentra el dominio de la siguiente función (1)y= (2) y=
Solución: (1)∵x-1≠0 ∴El dominio de la función es el número real de x≠1.
(2) El dominio de la función ÷1 3x≠0∴ es el número real de x≠-. ,
3. Cuando la expresión analítica es una raíz par, X es un número real con signo de raíz no negativo.
Ejemplo 3. Encuentra el dominio de las siguientes funciones
(1)y=, (2)y=, (3)y=
Solución: (1)∵3- x≥0, ∴x≤3.
(2)∫2x 4≥0 ∴x≥-2
⑶, ∴x≥-4
4. Cuando la expresión es una expresión compuesta, primero enumere las desigualdades una por una, averigüe el rango permitido de cada parte y luego averigüe su parte común.
Ejemplo 4. Encuentra el dominio de las siguientes funciones
(1)y= (2)y= (3)y= (4)y=
Solución: (1)∵ ∴ ∴, x≠4.
(2)∵1-5x gt; 0∴x lt;.
⑶∴xgt; 2 y x≠3.
(4) ∵
5. Cuando la expresión analítica involucra problemas de aplicación específicos, depende de los problemas de aplicación específicos.
Si se utiliza una función para reflejar un problema real, el valor de la variable independiente no solo debe representar el valor numérico de la función, sino que también debe hacer que el problema real tenga significado.
Ejemplo 5. Xiao Ming tomó 10 yuanes para comprar lápices y el precio de cada lápiz fue de 0,38 yuanes. Xiao Ming * * * compró X y el dinero restante es Y. Encuentre la función de resolución de Y con respecto a X e indique el rango de X.
Solución: Según el significado de la pregunta, la función de resolución de Y con respecto a X es: Y = 10-0,38 X.
Cuando y=0, es decir 10-0.38x=0, ∴ x=26.3.
Contabilidad de lápices
El rango de valores de ∴x es: 0
Nota: ¿Cómo encontrar el valor máximo de X? Cuando se gastan 10 yuanes en un lápiz, es decir, cuando el dinero restante es cero, X es el valor máximo. Y considerando la contabilidad de los lápices, x debería ser un número entero.
Ejemplo 6. Dado que el perímetro de un triángulo isósceles es 17 cm, ¿cuál es la relación funcional entre la longitud de su base ycm y la longitud de su cintura xcm? E indique el dominio de la función.
Solución: Del significado de la pregunta: y 2x=17.
∴y=17-2x
∵y gt; es decir, 17-2x gt 0 ∴xlt; dos lados del triángulo es mayor que los tres lados.
∴x xgt; y, y=17-2x.
∴2xgt; 17-2x, x gt4.25
El rango numérico de ∴x es 4.25 cm
Resumen: Cuando la base es y, la la longitud de la cintura es Cuando x, el dominio de Uno de los conceptos básicos importantes, está estrechamente relacionado con el álgebra, ecuaciones, desigualdades, funciones trigonométricas, cálculo, etc., y se usa ampliamente. La base de la función es sólida y hay muchos conceptos, entre ellos, el dominio de definición, el rango de valores y la paridad de funciones son uno de los puntos difíciles y son tipos de preguntas comunes en el examen de ingreso a la universidad. La siguiente es la solución al rango de funciones, por ejemplo, de la siguiente manera.
1. Método de observación
Al observar el dominio y las propiedades de la función, combinados con la fórmula analítica de la función, se obtiene el rango de valores de la función.
El ejemplo 1 encuentra el rango de valores de la función y = 3 √ (2-3x).
Abrazo: Según las propiedades de las raíces cuadradas aritméticas, primero encuentra el rango de √ (2-3x).
Solución: De las propiedades de las raíces cuadradas aritméticas sabemos que √ (2-3x) ≥ 0,
Por lo tanto, 3 √ (2-3x) ≥ 3.
El dominio de la función ∴ es.
Comentarios: Las raíces cuadradas aritméticas tienen doble no negatividad, a saber: (1) no negatividad de las raíces cuadradas, (2) no negatividad de los valores.
Este problema se resuelve observando directamente las propiedades de las raíces cuadradas aritméticas. Este método es simple y claro para encontrar el rango de valores de un tipo de función, y es un método ingenioso.
Ejercicio: Encuentra el rango de valores de la función y=[x](0≤x≤5). (Respuesta: El rango es: {0, 1, 2, 3, 4, 5})
Dos. Método de función inversa
Cuando existe la función inversa de una función, el dominio de su función inversa es el dominio de valor de la función original.
Ejemplo 2: Encuentre el rango de valores de la función y=(x 1)/(x 2).
Abrazo: Primero encuentra la función inversa de la función original y luego encuentra su dominio.
Solución: Obviamente, la función inversa de la función y=(x 1)/(x 2) es: x = (1-2y)/(y-1), y su dominio es y≠ 1 Números reales, por lo que el rango de la función y es.
Comentarios: Utilice el método de la función inversa para encontrar el dominio de la función original, siempre que la función original tenga una función inversa. Este método incorpora la idea del pensamiento inverso y es uno de los métodos importantes para resolver problemas matemáticos.
Ejercicio: Encuentra el rango de valores de la función y = (10x 10-x)/(10x-10-x). (Respuesta: El rango de la función es {y ∣ y
3. Método de comparación
Cuando la función dada es una función cuadrática o una función compuesta que se puede transformar en una función cuadrática función, puede utilizar el método de coincidencia para encontrar el rango de valores de la función
Ejemplo 3: encontrar el rango de valores de la función y = √ (-x2 x 2)
Guía: Formula el número radical, usa el valor máximo de la función cuadrática.
Solución: De -x2 x 2 ≥ 0, podemos saber que el dominio de la función es x ∈ [-1. , 2] en este momento -x2 x 2. =-(x-1/2) 2 9/4 ∈ [0, 9/4]
∴ 0 ≤√-x2 x 2 ≤ 3]. /2, el rango de valores de la función es [0, 3/2].
Comentario: Para encontrar el rango de valores de una función, no solo debemos prestar atención a la aplicación de la relación de correspondencia, pero también preste especial atención a la restricción del dominio de definición en el rango de valores. El método de coincidencia es un método importante en matemáticas.
Ejercicio: encuentre el rango de valores de la función y = 2x-5 √ 15. -4x (respuesta: el rango es {y∣y≤3})
Cuatro Método discriminante
Si se puede transformar en una función fraccionaria o una función irracional de una cuadrática. ecuación sobre una variable, el método discriminante se puede utilizar para encontrar el rango de valores de la función
Ejemplo 4. Encuentre el rango de valores de la función y = (2x2-2x 3)/(x2-x 1.
Instrucciones: Convertir la función original en una ecuación cuadrática de variables independientes y aplicar el discriminante de las raíces de la ecuación cuadrática. Determinar el rango de valores de la función original. Solución: Cambie la fórmula anterior a (y-2) x2-(y-2) x (y-3) = 0 (*) p>
Cuando y≠2, de δ = (y-2) 2. -4 (y-2) x (y-3) ≥ 0, la solución es: 2 < x ≤ 10/3. >
Cuando y=2, la ecuación (*) no tiene solución. es 2 < y ≤ 10/3
Comentarios: Convierta la relación funcional en una ecuación cuadrática F( x, y) = 0. Debido a que la ecuación tiene soluciones reales, su discriminante no es negativo y el rango de la función a menudo se puede encontrar con y = (ax2 bx c)/(dx2 ex f) e Y = AX B. √ (CX2 DX E) función.
Ejercicio: Encuentra el rango de valores de la función y = 1/(2x2-3x 1). (Respuesta: el rango es y ≤ -8 o y gt0).
Método máximo del verbo (abreviatura de verbo)
Para la función continua y=f(x) en el intervalo cerrado [a, b], puedes encontrar y=f(x ) es el valor extremo en el intervalo [a, b] y se compara con el valor límite f(a). f (b), se puede encontrar el valor máximo de la función y se puede encontrar el rango de valores de la función y.
Ejemplo 5: Se sabe que (2x2-x-3)/(3x2 x 1)≤0, satisfaciendo x y=1. Encuentra el rango de la función z=xy 3x.
Instrucciones: Encuentre el rango de valores de la variable independiente X según condiciones conocidas, elimine la función objetivo y la fórmula, y encuentre el rango de valores de la función.
Solución: ∫3 x2 x 1 > 0. La desigualdad fraccionaria anterior tiene la misma solución que la desigualdad 2x2-x-3≤0. La solución es -1 ≤ x ≤ 3/2, y x y=1, y=1.
∴z=-(x-2)2 4 y x∈[-1, 3/2], la función z es continua en el intervalo [-1, 3/2], solo necesitamos para comparar el tamaño de los límites.
Cuando x=-1, z=-5; cuando x=3/2, z=15/4.
El rango de valores de la función z es {z ∣-5 ≤ z ≤ 15/4}.
Comentarios: Esta pregunta trata sobre convertir el problema de rango de una función en el problema de valor máximo de la función. Si el intervalo tiene un valor máximo, el rango de la función también se puede obtener encontrando el valor máximo.
Ejercicio: Si √x es un número real, el rango de valores de la función y=x2 3x-5 es ().
A.(-∞, ∞) B.[-7, ∞] C.[0, ∞) D.[-5, ∞)
(Respuesta: d) .
Método del verbo intransitivo espejo
Al observar la imagen de la función, combina números y formas para obtener el rango de valores de la función.
Ejemplo 6 Encuentra el rango de valores de la función y=∣x 1∣ √(x-2)2.
Guía: Según el significado del valor absoluto, elimina el firmar y convertirlo en una función por partes, para visualizarlo.
Solución: La función original es -2x 1 (x ≤ 1).
y = 3(-1 lt; x≤2)
2x-1(x gt; 2)
Su imagen es como se muestra en la figura .
Obviamente, el valor de la función y≥3, por lo que el rango del valor de la función es [3, ∞].
Comentario: Preste atención a los puntos finales de la función por partes. Usar la imagen de una función
Encontrar el rango de valores de una función encarna la idea de combinar números y formas. Es una forma importante de resolver problemas.
Hay muchas formas de encontrar el rango de una función, y también es adecuado encontrar el rango de una función mediante el método de desigualdad, monotonicidad de funciones, método de sustitución y otros métodos.
Siete. Métodos monótonos
Evalúa el dominio de evaluación aumentando o disminuyendo monótonamente la función durante un intervalo determinado.
Ejemplo 1: Encuentra el rango de valores de la función y = 4x-√ 1-3x (x ≤ 1/3).
Abrazo: Se sabe que la función es una función compuesta, es decir, g(x) =-√ 1-3x, y = f(x)g(x), y su dominio es x ≤1/3. Dentro de este intervalo, analice el aumento y la disminución de la función respectivamente para determinar el rango de valores de la función.
Solución: Supongamos f(x) = 4x, g(x) =-√ 1-3x, (x ≤ 1/3), podemos saber fácilmente que son funciones crecientes en el dominio, entonces y = f (x) g (x) = 4x-√ 1.
Cuando el dominio x≤1/3, y≤f(1/3) g(1/3)= 4/3, también es una función creciente, por lo que el rango de valores de la función es {y | y ≤ 4/3}.
Comentarios: Usar la monotonicidad para encontrar el rango de valores de una función es encontrar el intervalo dado de la función o el intervalo implícito de la función. Combinando el aumento y la disminución de la función, se puede encontrar el valor de la función al final del intervalo y luego se puede determinar el rango de valores de la función.
Ejercicio: Encuentra el rango de valores de la función y = 3 √ 4-x (respuesta: {y | y ≥ 3})
Ocho. Método alternativo
Reemplace algunas cantidades en la fórmula de la función con nuevas variables, convierta la función a una forma funcional con las nuevas variables como variables independientes y luego encuentre el rango de valores.
El ejemplo 2 encuentra el rango de valores de la función y=x-3 √2x 1.
Abrazo: la función original se transforma en una función cuadrática de la variable mediante sustitución, y el valor máximo de la función cuadrática se utiliza para determinar el rango de valores de la función original.
Solución: Supongamos t=√2x 1 (t≥0), entonces
x=1/2(t2-1).
Entonces y = 1/2(T2-1)-3 T = 1/2(T 1)2-4≥1/2-4 =-7/2.
Entonces el rango de valores de la función original es {y | y ≥-7/2}.
Comentarios: Convierta funciones irracionales o funciones cuadráticas en funciones cuadráticas y determine el rango de valores de la función original encontrando el valor máximo de la función cuadrática. Este método de resolución de problemas incorpora los métodos de pensamiento de sustitución e inducción de elementos. Es ampliamente utilizado.
Ejercicio: Encuentra el rango de valores de la función y =√x-1–x (Respuesta: {y | y ≤-3/4}
9. Métodos constructivos
Según las características estructurales de la función, da la figura geométrica y la combinación de números y formas
Ejemplo 3 Encuentra el rango de valores de la función y=√x2 4x 5 √x2. -4x 8.
Instrucciones: Transforma la función original para construir una figura plana y usa conocimientos geométricos para determinar el rango de la función.
Solución: La transformación de la función original. es f(x)= √(x 2)2 1 √ (2-x)2 22.
Haz un rectángulo ABCD con una longitud de 4 y un ancho de 3, y córtalo en 12. unidades
Supongamos HK=x, entonces ek=2- x, KF=2 x, AK=√(2-x)2 22
KC=√(x 2. )2 1.
Según la relación entre los tres lados del triángulo, AK KC≥ AC=5 Cuando a, k y c son tres puntos * * *
An. se debe utilizar el signo igual al dibujar la recta.
El dominio de la función original es {y | y ≥ 5}. √ (c-x) 2 b (a, b, c son todos números positivos), puede ser intuitivo y claro, conveniente y simple. Esta es la encarnación de la combinación de números y formas. : Encuentra el rango de valores de la función y=√x2 9 √(5-x)2 4 (Respuesta: {y | y ≥ 5 √ 2})
Método proporcional
Para resolver el rango de valores de un tipo de función con condiciones, las condiciones se pueden convertir en expresiones proporcionales y sustituirlas en la función objetivo, y luego encontrar el rango de valores de la función original.
Ejemplo 4. : Dado x, y∈R, 3x-4y-5=0, encuentre el rango de valores de la función z=x2 y2
Abrazo: convierta la ecuación condicional 3x-4y-5=0 en a. fórmula proporcional, establece los parámetros y sustitúyelo en la función original
Solución: De 3x-4y-5=0, y (x3)/4 = (y-1)/3 = k. (donde k es un parámetro) se convierte
∴x=3 4k, y=1 3k,
∴z=x2 y2= (3 4k)2 (14 3k). )2=(5k 3)2 1.
Cuando k =-3/5, x = 3/5, y =-4/5, zmin=1
El. el rango de valores de la función es {z | z ≥ 1}.
Comentario: Este problema es una relación multifuncional y generalmente contiene restricciones. Las funciones se transforman en funciones individuales. métodos de pensamiento y tiene un cierto sentido de innovación.
Ejercicio: Dado x, y∈R, que satisface 4x-y=0, encuentra el rango de valores de la función f (x, y) = 2x2-y (respuesta: {f (x, y) | f (x, y) ≥ 1})
XI. División polinómica
Ejemplo 5: Encuentra el rango de valores de la función y=(3x 2)/(x 1).
Abrazo: Convierte la función de fracción original en una expresión algebraica y la suma de una fracción mediante división larga.
Solución: y = (3x 2)/(x 1)= 3-1/(x 1).
∫1/(x 1)≠0, entonces y≠3.
El rango de valores de la función ∴ y son todos los números reales y≠3.
Nota: Este método se puede utilizar para funciones en la forma y=(ax b)/(cx d).
Ejercicio: Encuentra el rango de valores de la función y = (x2-1)/(x-1)(x≠1). (Respuesta: y≠2)
Doce. Método de desigualdad
El ejemplo 6 encuentra el rango de la función Y=3x/(3x 1).
Abrazo: Primero encuentre la función inversa de la función original y construya una desigualdad basada en el rango de valores de la variable independiente.
Solución: Es fácil encontrar que la función inversa de la función original es y=log3[x/(1-x)].
Según la definición de función logarítmica, x/(1-x) > 0.
1-x≠0
0 < x
El rango de la función (0, 1).
Comentarios: Examina el rango de valores de las variables independientes de la función, construye desigualdades (grupos) o desigualdades importantes, encuentra el dominio de la función y luego encuentra el dominio. El método de la desigualdad es una herramienta importante para resolver problemas y se utiliza ampliamente. Es una de las formas de resolver problemas matemáticos.
Lo siguiente es para practicar: encuentre el rango de las siguientes funciones.
1.y = √(15-4x) 2x-5 ({y|y≤3})
2.Y=2x/(2x-1).( y gt1 o y