1. La combinación de números y formas es una forma común de pensar en la resolución de problemas matemáticos. La combinación de números y formas puede hacer que algunos problemas matemáticos abstractos sean intuitivos y vívidos, convertir el pensamiento abstracto en pensamiento de imágenes y ayudar a captar la esencia de los problemas matemáticos. Además, debido a la combinación de números y formas, muchos problemas son fáciles de resolver y las soluciones simples.
2. La llamada combinación de números y formas es la idea de resolver problemas matemáticos mediante la transformación mutua de números y formas basándose en la correspondencia entre números y formas. siguientes contenidos: (1) La correspondencia entre números reales y puntos en el eje numérico Relación; (2) Correspondencia entre funciones e imágenes (3) Correspondencia entre curvas y ecuaciones (4) Conceptos basados en elementos geométricos y condiciones geométricas; como números complejos, funciones trigonométricas, etc.; (5) Ecuaciones dadas o expresiones algebraicas La estructura tiene un significado geométrico obvio. Como por ejemplo la ecuación.
3. Al observar las preguntas del examen de ingreso a la universidad a lo largo de los años, utilizar inteligentemente el método de pensamiento de combinar números y formas para resolver algunos problemas matemáticos abstractos puede obtener el doble de resultado con la mitad de esfuerzo. El objetivo de la combinación de números y formas es estudiar "el uso de formas para ayudar a los números".
4. El método de pensamiento de combinar números y formas se utiliza ampliamente. Por ejemplo, al resolver ecuaciones y desigualdades, al encontrar el rango de valores y el valor máximo de una función, al encontrar números complejos y funciones trigonométricas, el uso del pensamiento numérico no solo puede encontrar intuitivamente métodos de resolución de problemas, sino también evitar cálculos y razonamientos complejos. Simplifica enormemente el proceso de resolución de problemas. Esto es más ventajoso para resolver preguntas de opción múltiple y preguntas para completar espacios en blanco. Debemos prestar atención a cultivar este tipo de conciencia ideológica y esforzarnos por tener una imagen en nuestra mente para ampliar nuestros horizontes de pensamiento.
Análisis de ejemplo
Ejemplo 1. Si las dos ecuaciones están en el medio, encuentre el rango de valores de .
Análisis: Supongamos que la abscisa del punto de intersección de la imagen y el eje es la solución de la ecuación. Como se puede observar en la imagen, al estar ambos en el medio, se establece, se resuelve y por lo tanto simultáneamente.
Ejemplo 2. Resolver desigualdades
Solución convencional: la desigualdad original es equivalente a (I) o (II)
Obtener solución (I) resolver (II)
En; resumen Como se mencionó anteriormente, el conjunto de soluciones de la desigualdad original es
Solución de combinación de forma de número: supongamos que la solución a la desigualdad es crear la abscisa correspondiente al segmento de línea en la figura anterior.
Como se muestra en la siguiente figura, el conjunto solución de la desigualdad es y se puede obtener a partir de la solución, por lo que el conjunto solución de la desigualdad es.
Ejemplo 3. Si se conocen, las raíces reales de la ecuación son ()
A.1 B. 2 C. 3 D. 1 o 2 o 3.
Análisis: el número de raíces de la ecuación de juicio es el número de intersecciones de las imágenes de juicio, y se dibujan dos imágenes de función. Es fácil saber que las dos imágenes tienen sólo dos puntos de intersección, por lo que la ecuación tiene dos raíces reales, así que elige b.
Ejemplo 4. Si satisface números reales, el valor máximo es ().
A.B.C.D.
Análisis: La ecuación tiene un significado geométrico obvio. Representa un círculo en el plano de coordenadas, el centro del círculo es y el radio (como se muestra en la figura), y representa la pendiente de la línea que conecta los puntos del círculo y el origen de las coordenadas (0, 0). . De esta forma, el problema se puede transformar en el siguiente problema geométrico: el punto en movimiento se mueve sobre una circunferencia con centro en (2, 0) y radio de , y encuentra la pendiente máxima de la recta.
Ejemplo 5. Se conocen los valores máximo y mínimo que satisfacen.
Análisis: El método de construir una intersección en línea recta se utiliza a menudo para resolver el problema de encontrar el valor máximo de una función binaria en condiciones limitadas.
Entonces, el problema original se transforma en: encontrar un punto en la elipse de modo que la pendiente de la recta que pasa por el punto sea 3 y la intersección en el eje sea la máxima o mínima. Se puede ver en la figura que cuando una línea recta es tangente a una elipse, hay una intersección máxima y una intersección mínima.
El valor máximo de from, from y from es 13 y el valor mínimo es.
Ejemplo 6. Si te reúnes, reúnete.
, el rango de valores es _ _ _ _ _ _ _ _ _.
Análisis: Obviamente representa la parte del círculo con centro (0, 0) y radio 3 encima del eje (como se muestra en la imagen), y representa una recta con pendiente y sección longitudinal. La distancia en línea recta es fácil de saber a partir de la figura. Si se hace, significa que la línea recta y el semicírculo tienen una cosa en común. La aproximación mínima obvia es, es decir, el valor máximo.
Ejemplo 7. Un punto es un punto en la elipse su distancia de uno de los puntos focales es 2. Es el punto medio de , que representa el origen, entonces ().
A. Día 8 del 4 a.C.
Análisis: (1) Supongamos que el otro foco de la elipse es (como se muestra a continuación), entonces
pero también Tenga en cuenta el punto medio de cada uno.
Sí, la línea central
(2) Si piensas en la segunda definición, primero puedes determinar las coordenadas del punto, luego calcular las coordenadas del punto medio y finalmente usar La fórmula de distancia entre los dos puntos a calcular, pero esto aumenta la cantidad de cálculo, y el método es algo complicado en comparación con (1).
Ejemplo 8. Se satisface el rango del módulo de un número complejo dado y los valores principales de un ángulo.
Análisis: Por su obvio significado geométrico, representa la distancia entre el punto correspondiente al número complejo y el punto correspondiente al número complejo. Por lo tanto, el punto correspondiente al número complejo está en un círculo. con (2, 2) como centro y radio (como se muestra en la figura siguiente), representa la distancia desde el punto correspondiente al número complejo hasta el origen. Es obvio que cuando se satisfacen el punto, el centro y la línea de tres puntos *, se obtiene el valor máximo.
El rango de valores es
De manera similar, cuando un punto se mueve en un círculo, si y solo si una línea recta es tangente al círculo, el diámetro del punto en el punto tangente El valor principal del ángulo de dirección alcanza el valor máximo, que se calcula utilizando la tangente entre la recta y el círculo, es decir,
es decir,
Ejemplo 9. Encuentra el rango de la función.
Solución uno (método algebraico): A partir de,
, resuelve la desigualdad
El rango de esta función es
Solución dos ( método geométrico) Método): La forma es similar a la fórmula de la pendiente, indicando la pendiente de una línea recta que pasa por dos puntos.
Porque el punto está en el círculo unitario (ver la figura a continuación)
Obviamente,
Si la ecuación tangente del círculo se establece en , entonces hay es, y se puede obtener resolviendo.
Es decir,
el rango de función es
Ejemplo 10. Encuentra el valor máximo de la función.
Análisis: Dado que la fórmula lineal en la raíz del lado derecho del signo igual es la misma, no se puede convertir en una función cuadrática para encontrar el valor máximo si la fórmula se eleva al cuadrado; complicará el problema y será difícil resolverlo utilizando métodos convencionales. Teniendo en cuenta que hay dos radicales en la fórmula, los elementos se pueden reemplazar en dos pasos.
Solución: Establecer, luego
y
La función dada se convierte en una familia de rectas con parámetros que son iguales a la parte de la elipse en el primer cuadrante (incluidos los puntos finales) tiene un punto común (como se muestra en la figura).
Cuando sea tangente al primer cuadrante, tomar el valor máximo.