El primer método de inducción matemática se puede resumir en los siguientes tres pasos:
(1) Fundamento de la inducción: demostrar que la proposición es verdadera cuando n=1;
(2) Hipótesis inductiva: Supongamos que la proposición es verdadera cuando n=k;
(3) Recursión inductiva: De la hipótesis inductiva, se deduce que la proposición también es verdadera cuando n=k 1.
El segundo principio de inducción matemática es asumir una proposición relacionada con el número natural n, si:
(1) Cuando n=1, la proposición es verdadera;
(2) Supongamos que la proposición es verdadera cuando n ≤ k, se puede deducir que cuando n = k 1, la proposición también es verdadera.
Entonces, la proposición es cierta para todos los números naturales n.
Información ampliada:
En teoría de números, la inducción matemática es una forma diferente de demostrar que cualquier situación dada es correcta (primero, segundo primero, tercero y sin excepción) teorema matemático.
Aunque la inducción matemática tiene "inducción" en su nombre, la inducción matemática no es un método de razonamiento inductivo vago, es un método de razonamiento deductivo completamente riguroso. De hecho, todas las demostraciones matemáticas son deductivas.
La inducción matemática tiene requisitos estrictos sobre la forma de resolución de problemas. En el proceso de resolución de problemas por inducción matemática,
El primer paso: verificar que n sea verdadero al tomar el primer natural. número
Paso 2: Suponga que es verdadero cuando n=k, y luego use las condiciones de verificación y las condiciones supuestas como base para el argumento. En el proceso de derivación posterior, n=k 1 no puede ser. sustituido directamente en la fórmula original del supuesto go.
El último paso es resumir el enunciado.
Es necesario enfatizar que ambos pasos de la inducción matemática son muy importantes y ambos son indispensables.
Los principios de la inducción matemática suelen enunciarse como axiomas de los números naturales (ver axiomas de Peano). Pero sobre la base de otros axiomas, se puede demostrar mediante algunos métodos lógicos. El principio de inducción matemática se puede deducir del siguiente axioma de la propiedad del bien ordenado (el principio del número natural más pequeño):
El conjunto de los números naturales está bien ordenado. (Cada conjunto no vacío de enteros positivos tiene un elemento mínimo)
Por ejemplo, {1, 2, 3, 4, 5} tiene el número mínimo en el conjunto de enteros positivos: 1.
A continuación usaremos esta propiedad para demostrar la inducción matemática:
Para una proposición matemática que ha completado la prueba de dos pasos anterior, asumimos que no es cierta para todos los números enteros positivos.
Para el conjunto S compuesto por esos números no válidos, debe existir un elemento mínimo k. (1 no pertenece al conjunto S, por lo que kgt; 1)
k ya es el elemento más pequeño del conjunto S, por lo que k-1 no pertenece a S. Esto significa que k-1 no no pertenece a la proposición La afirmación es verdadera: dado que es verdadera para k-1, también debería ser cierta para k, lo cual es contradictorio con el segundo paso que completamos. Entonces esta proposición de dos pasos puede ser cierta para todo n.
Tenga en cuenta que algunos de los otros axiomas son de hecho formas axiomáticas alternativas del principio de inducción matemática. Más bien, los dos son equivalentes.
Referencia: Enciclopedia Baidu - Inducción Matemática