2. Contenido principal de la revisión:
1. Factores determinantes
La definición, las propiedades y los métodos de cálculo comunes de los determinantes (como triangulación, suma de bordes). método de reducción, método de recursividad, método de término dividido, método del determinante de Vandermonde, método de inducción matemática, método del determinante auxiliar).
Punto clave: cálculo del determinante de orden n.
2. Teoría de matrices
Operaciones matriciales, transformación elemental de matrices de bloques y rango de matrices, matrices invertibles y matrices adjuntas, y tres relaciones de equivalencia de matrices (equivalencia, contracción, similar). ), valores propios y vectores propios de matrices, trazas de matrices, polinomios mínimos de matrices, diagonalización de matrices, descomposiciones comunes de matrices (como descomposición equivalente, descomposición de rango completo, descomposición por similitud ortogonal de matrices simétricas reales, descomposición triangular ortogonal y Jordan descomposición de matrices reales invertibles).
Puntos clave: utilice la transformación elemental de la matriz de bloques para demostrar la igualdad y desigualdad del rango de la matriz, las propiedades y soluciones de la matriz inversa y la matriz adjunta, la relación entre las tres relaciones de equivalencia de la matriz y la diagonalización de la matriz El juicio y la prueba (especialmente la diagonalización simultánea de múltiples matrices), la prueba y la aplicación de la descomposición matricial (especialmente la descomposición por similitud ortogonal de matrices simétricas reales, el cálculo y las pruebas relacionadas del estándar Jordan forma).
3. Ecuaciones lineales
Regla de Clem, condiciones necesarias y suficientes para que ecuaciones lineales homogéneas tengan soluciones distintas de cero, soluciones a sistemas de solución básicos y demostraciones relacionadas, soluciones de linealidad no homogénea. a los sistemas de ecuaciones y la estructura de soluciones.
Puntos clave: La estructura de soluciones de ecuaciones lineales no homogéneas y la demostración del sistema solución básico de sus grupos derivados. Soluciones a ecuaciones especiales.
4. Teoría de polinomios
Divisibilidad de polinomios, máximo común divisor y mínimo común múltiplo, prima mutua de polinomios, polinomios irreducibles y factorización, funciones polinómicas y raíces de polinomios.
Enfoque: utilizar la teoría polinomial para probar cuestiones relacionadas, como la prueba y aplicación de propiedades coprimas y polinómicas irreducibles, prueba de teoremas importantes, como el teorema de unicidad de factorización, el criterio de Eisenstein, el lema de Gauss y la prueba; de polinomios irreducibles.
5. Teoría cuadrática
El espacio lineal cuadrático es isomorfo con el espacio matricial simétrico, la forma cuadrática se transforma en forma estándar y forma estándar, ley de inercia de Sylvester, definida positiva, la definición y propiedades de las formas cuadráticas positivas semidefinidas, negativas definidas, seminegativas definidas e indefinidas, algunas conclusiones importantes y aplicaciones de matrices definidas positivas.
Puntos clave: Prueba de matrices definidas positivas y semidefinidas positivas, clasificación de matrices cuadradas de nivel N según relaciones contractuales, prueba de matrices simétricas reales.
6. Espacio lineal y espacio euclidiano
Definición de espacio lineal, relación lineal de grupos de vectores (correlación lineal e independencia lineal, equivalencia de grupos de vectores, máxima independencia lineal Solución de grupos, teorema de sustitución), teorema de base y de continuación, fórmula de dimensión, transformación de coordenadas, transformación de base y transformación de coordenadas, subespacio generado, intersección y suma de subespacios (incluida la suma directa), producto interno y espacio euclidiano La definición y propiedades simples de complemento ortogonal del subespacio, solución de matriz métrica, base ortonormal estándar.
Puntos clave: prueba exhaustiva de la dependencia lineal y la independencia lineal de grupos de vectores, juzgando si un vector está representado por un grupo de vectores y cómo representarlo, encontrando el grupo independiente más grande de grupos de vectores y utilizándolo para representar otros vectores, la fórmula de dimensión. Pruebas y aplicaciones, especialmente la prueba de la suma directa de subespacios, la solución de la base ortonormal y la prueba de sus propiedades.
7. Transformación lineal
La definición, operación y matriz de la transformación lineal, el núcleo y rango de valores de la transformación lineal, el subespacio invariante, las raíces propias y los vectores de la transformación lineal, el espacio propio , diagonalización de transformaciones lineales, transformaciones ortogonales, transformaciones simétricas y transformaciones antisimétricas, aplicaciones de transformaciones lineales y su correspondencia matricial, y sus valores propios y vectores propios.
Puntos clave: la aplicación de la transformación lineal y su correspondencia matricial, la diagonalización de la transformación lineal, el núcleo y alcance de la transformación lineal.
Demostración de transformación ortogonal, transformación simétrica y transformación antisimétrica. La relación entre polinomios mínimos y diagonalización.