Necesidad. Suponiendo que la matriz G es una matriz definida positiva, entonces para cualquier vector X no nulo de dimensión M, siempre existe X' GX = X' (a' a) X = (ax) > 0, por lo que Ax≠0, entonces el sistema de ecuaciones Ax=0 sólo tiene solución cero, por lo que el conjunto vectorial α 1, α 2, .., α M.
Suficiencia Sea que el grupo de vectores α1, α2,..., αm sea linealmente independiente, entonces Ax=0 solo tiene solución cero, por lo que para cualquier vector columna X distinto de cero de M dimensiones, Ax≠0 , entonces (AX)' (AX) = X' (A' A) X = X' GX > 0, entonces G es una matriz definida positiva.