Como conceptos matemáticos avanzados, la dificultad de aprendizaje de la integral de Riemann y la integral de Lebesgue es evidente. Muchos entusiastas y estudiantes de las matemáticas actualmente tienen dificultades para comprender esto para ayudar a todos a tener una comprensión básica de las dos. Explicaré el análisis de los dos desde una perspectiva personal, para que más personas puedan conocer el significado de los dos puntos.
1. Explicación intuitiva
Primero, veamos una explicación intuitiva. Por ejemplo, hay una pila de dinero sobre la mesa, que incluye 1 jiao, 2 jiao, 5 jiao. 1 yuan, 2 yuan, Billetes en denominaciones de 5 yuan y 10 yuan. Te doy la pila de dinero uno por uno en el orden de arriba a abajo tal como estaba originalmente colocado sobre la mesa. Este es el punto de Riemann. Si primero clasifico la pila de dinero según las denominaciones: 1 jiao, 2 jiao, 5 jiao, 1 yuan, 2 yuanes, 5 yuanes, 10 yuanes, y luego te doy la pila de dinero ordenada uno por uno, estos son puntos Lebesgue. .
En segundo lugar, la diferencia entre los dos
La integral de Lebesgue puede considerarse como una generalización de la integral de Riemann. La diferencia más simple entre ellas es que la función integrable de Riemann debe ser Lebesgue It. es integrable, pero una función que es integrable de Lebesgue no es necesariamente integrable de Riemann. La integral de Riemann tiene requisitos demasiado estrictos sobre las propiedades de la función. Requiere que la función sea básicamente continua, es decir, cuando una función aparece en el intervalo:
f(x)={0x∈R. / Q1x∈Q
Dado que hay infinitos "puntos problemáticos", su amplitud es 1 sin importar cuán pequeña sea la vecindad, por lo que no podemos hacer que la suma de Darbo superior sea igual a la suma de Darbo inferior, y en. Para resolver este problema, solo necesitamos cambiar ligeramente nuestro método de división, del dominio de definición de división original al dominio de valor de división. Por lo tanto, después de dividir el rango de valores, podemos saber que su integral de Lebesgue es igual a 1 por la suma de las medidas de todos los puntos racionales más 0 por la suma de las medidas de todos los puntos irracionales ya que el conjunto de los números racionales es un conjunto contable. , entonces su medida es 0.
3. Propiedades de las dos integrales
A juzgar por las propiedades de las dos integrales, la integral de Lebesgue es una integral absolutamente convergente, mientras que la integral de Riemann no lo es. En concreto, sabemos que para las integrales de Riemann ordinarias (integrales definidas), si son integrables, son absolutamente integrables, y viceversa; y para las integrales generalizadas de Riemann, si son absolutamente integrables, son integrables, y viceversa; En otras palabras, la integrabilidad absoluta y la integrabilidad en el sentido de la integral de Riemann no son equivalentes. En cuanto a la integral de Lebesgue, sabemos que la integrabilidad y la integrabilidad absoluta son lo mismo, es decir, la integrabilidad absoluta y la integrabilidad se han vuelto equivalentes en el sentido de que la integral de Lebesgue hace que la integrabilidad absoluta y la integrabilidad estén unificadas. Ésta es una diferencia importante entre la integral de Lebesgue y la integral de Riemann.
Explicación detallada 1.
Desde la perspectiva de las clases de funciones integrables en dos sentidos integrales, el espacio lineal compuesto por la secuencia de funciones integrables de Lebesgue es cerrado, mientras que la secuencia de funciones integrables de Riemann. El espacio lineal formado no está cerrado a operaciones límite, es decir, la función límite de una secuencia de funciones integrables de Riemann puede ya no ser integrable de Riemann, mientras que la clase de función integrable de Lebesgue está cerrada a operaciones límite. Y debido a este carácter cerrado, preferimos utilizar la integral de Lebesgue al definir el espacio L2.
Un ejemplo de una secuencia de funciones que es integrable riemanniana pero su límite no es integrable riemanniano:
Considere la secuencia de funciones fn(x)={1x1n≤x≤10de lo contrario, obviamente su Casi en todas partes converge a la siguiente función: f(x)={1x0lt;x≤10x=0
Sin embargo, tenemos que ?f? Otra característica importante de la integral de Lebesgue es superior a la integral de Riemann en términos. de clase de función.
Explicación detallada dos,
Hablemos de otra diferencia importante entre la integral de Riemann y la integral de Lebesgue, es decir, la cuestión del orden intercambiable de integrales y límites, integrales y límites El intercambio El orden es una operación muy importante en el análisis matemático. Conecta el problema de calcular la integral de la función con el problema del límite de la secuencia. Primero, cuando solo conocemos la integral de Riemann, el orden de la integral y la. El límite se puede intercambiar. Las condiciones son muy estrictas. Requiere que la secuencia de funciones converja uniformemente y satisfaga el teorema de convergencia de control de Arzela. Aquí, no sólo requerimos que la secuencia de funciones esté uniformemente acotada, sino que también requerimos que f(x) sea integrable en el intervalo [a, b].
Reduce en gran medida el requisito de que la secuencia de funciones esté uniformemente limitada. En cambio, solo necesita ser "controlada" por otra función (g(x)?, y porque la secuencia de funciones integrables de Lebesgue consta de The. El cierre del espacio lineal no requiere que ?f(x)? (es decir, el límite de la secuencia de funciones) sea integrable y, en el sentido de la integral de Lebesgue, existe otro control para juzgar el orden conmutativo de integrales y límites. El teorema de convergencia es un teorema completamente equivalente, es decir, el teorema de convergencia monótona. Esto también nos brinda un método poderoso para abordar el problema de orden conmutativo de integrales y límites. Sin embargo, no existe un teorema similar para las integrales de Riemann.
Explicación detallada tres,
a continuación. Hablamos de una comprensión profunda de "la integrabilidad de Lebesgue es equivalente a la integrabilidad absoluta". Sabemos que para series absolutamente convergentes, cambiar arbitrariamente el orden de los términos no cambiará la convergencia y la suma de la serie, mientras que las series condicionalmente convergentes, transponer el orden de los términos puede hacer que la serie resultante diverja, incluso si aún converge, la suma de la serie puede ser cualquier valor deseado. Consideremos este resultado a su vez. Si una operación de suma converge en cualquier cambio de orden, entonces esta convergencia debe ser convergencia absoluta. En este caso, la convergencia absoluta y la convergencia son lo mismo y si una operación de suma converge después de cambiar el orden. Si la convergencia cambia (incluida la divergencia o el cambio del valor límite), entonces este tipo de convergencia es una convergencia condicional. En otras palabras, es una convergencia "condicional" en lugar de una convergencia "absoluta".
Volver a la definición de integral. La esencia de la integral de Riemann es dividir el dominio y aproximar la suma para tomar el límite. Imaginamos que el gráfico debajo de la curva se corta en muchas pequeñas franjas verticales. La integral de Riemann consiste en "sumar" las áreas de estas pequeñas franjas de izquierda a derecha. Esta convergencia sólo se puede calcular "de izquierda a derecha". de la suma es una especie de convergencia de "suma ordenada", y esta convergencia no se puede cambiar a voluntad. La esencia de la integral de Lebesgue es dividir el rango de valores y luego aproximar la suma para obtener el límite. Primero, junte algunas barras pequeñas con alturas similares (valores de función) de acuerdo con el rango de valores para obtener una barra más ancha. y luego juntar la altura de estas piezas. Se suman las áreas de diferentes franjas anchas. Esta convergencia es una convergencia que se ha reordenado y luego se suma. Según lo dicho, es una especie de convergencia de "suma de orden reemplazable". arriba, esta convergencia debe ser convergencia absoluta. Por lo tanto, la integral de Lebesgue es una integral absolutamente integrable.