∫g '(x)= kx f '(0)
∴g'(0)=f'(0), g''(x)=k
p>
[f '(x)-g '(x)]' = f ' '(x)-g ' '(x)= f ' '(x)-k≥0
∴f'(x)-g'(x) aumenta monótonamente en [0,∞],
∫f '(0)-g '(0)= 0
∴f'(x)-g'(x)≥0
∫[f(x)-g(x)]' = f '(x)-g '(x )≥0
∴f(x)-g(x) aumenta monótonamente en [0,∞].
∫f(0)-g(0)= 0
∴f(x)-g(x)≥0, es decir, f(x)≥g(x )= (1/2)kx? f'(0)x f(0),
∫k > 0
Cuando x→ ∞, lim g(x)= ∞ ∴
F( x) tiene una derivada continua de segundo orden en [0,∞],
Entonces f(x) es continua en [0,∞).
Y f(0)< 0, f(∞) > 0.
Según el teorema del valor intermedio de funciones continuas, f(x) debe tener un punto cero en (0, ∞).
La unicidad del punto cero se demuestra a continuación.
∫f ' '(x)= k > 0 es válido para x≥0.
∴f'(x) es una función continua estrictamente monótona y creciente en [0,∞].
∴f'(x) tiene como máximo un cero en [0,∞).
Si f'(x) no tiene cero, porque f (0) < 0, f (∞) > 0.
Entonces f(x) es una función continua estrictamente creciente en [0,∞], y el punto cero es, por supuesto, único;
Si f'(x) tiene un punto cero, la misma Teoría, porque f (0) < 0, f(∞)> 0;
Entonces en este momento f(x) tiene como máximo dos intervalos monótonos (0, a) y ( a, ∞), f (x) disminuye monótonamente en (0, a) y aumenta monótonamente en (a, ∞), por lo que f(x) debe estar en (a, ∞).