(uv)' ' =((uv)')' =(u ' v+uv ')' = u ' ' v+u ' v ' +u ' v '+uv ' ' = u ' ' v+2u ' v '+uv ' '
' ' '(uv)' ' =(u ' ' v+ 2u ' v '+ uv ' ')' =(u ' ' ' v+ u ' ' v ' ')+(2u ' ' v '+2u ' v ' ')+(uv ' '+u ' v ' ')= u ' ' ' v+ 3u ' ' v '+3u ' v ' '+uv ' ' '
(uv)(n) = C(0,n)u(0)v(n)+C(1, n )u(1)v(n-1)+C(2,n)u(2)v(n-2)+.....+C(n,n)u(n)v(0 )
C(0,n), C(1,n), C(2,n) son permutaciones y combinaciones, u(n) y v(n) representan derivadas de orden n.
Entonces en tu pregunta,
u=x^2, v=sin2x
U' = 2x, U'' = 2, U'' = 0 Por lo tanto, todas las derivadas de tercer orden de U son cero. La expansión anterior solo requiere C(0, 50)u(0)v(50), C (1,
u(0) =x. ^2 u(1)=2x u(2)=2
sin(kx)(n)=k^nsin(kx+0.5nπ)
v(50 )= 2^50sin(2x+25π)= -2^50sin2x
v(49)=2^49sin(2x+24.5π)=2^49sin(2x+0.5π)= -2^ 49cos2x
v(48)=2^48sin(2x+24π)=2^48sin2x
C(0,50)=1, C(1,50)=50, C( 2,50)=49*25=1225
y(50)=C(0,50)u(0)v(50) + C(1,50)u(1)v (49 ) + C(2,50)u(2)v(48)
=x^2(-2^50sin2x)+100 x(-2^49cos2x)+1225×2^48sin2x