1. Se sabe que los vectores distintos de cero AB y AC satisfacen [(AB/|AB|) (AC/|AC|)]?BC=0,
Y (AB/ |AB|)?(AC/|AC|) =?, determina la forma del triángulo ABC.
(La pregunta original dejó la mitad del corchete) (AB/│AB│ representa el vector unitario en la misma dirección que el vector AB, su módulo = 1. El resto son similares)
Solución: ( AB/|AB|)?(AC/|AC|)=1×1×cosA =?, entonces A=60°
[(AB/|AB|) (AC/|AC|) ]?BC=│(AB/｜AB｜) (AC/｜AC｜)││BC│cos(A/2 C)=0
Obtenemos cos( A/2 C)=0, entonces A/2 C=90°, ∴C=90°-60°/2=60°,
△ABC es un △ equilátero.
2. En el cuadrilátero ABCD, BD es una de sus diagonales, y BC=λ(AD) (λ∈R), |AB|=|AD|=2,
|CB-CD. |=2√3
p>
(1). Si el triángulo BCD es un triángulo rectángulo, encuentre el valor de λ
(2). 1), encuentre CB?BA
Solución: (1) │CB-CD│=│DB│=2√3
En △ABD, │DB│?=│AD │? │AB│?-2│AD││AB │cosA
Es decir, 12=4 4-8cosA, entonces cosA=-1/2, ∴A=120°, ∠ABD=∠ ADB=30°
BC=λ (AD), entonces BC‖AD, y │BC│=λ│AD│=2λ
∠DBC=∠ABC-∠ABD= 60°-30°=30°
∠C=90°, entonces │BC│=2(√3)cos30°=3=2λ, ∴λ=3/2
(2)CB?BA=│CB││BA│ cos120°=3×2×(-1/2)=-3
3. Construye un triángulo rectángulo isósceles OAB con origen y punto A (5, 2) como vértices, de modo que ∠B=90°,
Encuentra las coordenadas del punto B y el vector AB.
Solución: │OA│=√29, el punto medio de OA es M (5/2, 1), toma M como centro del círculo y dibuja un círculo con │OA│/2= (√29)/2 como radio M:
M: (x-5/2)? (y-1)?=29/4
Dibuja la línea vertical. de OA a través de M: y=-(5/ 2)(x-5/2) 1=-(5/2)x 29/4, sustitúyelo en la ecuación de park M y simplifícalo para obtener
4x?-20x 21=(2x-7) (2x-3)=0
La solución es x?=3.5, x?=1.5.
Entonces y?=-1.5, y?=3.5
Eso es B?(3.5, -1.5); B?(1.5, 3.5)
Vector AB?=-1.5i - 3.5j
Vector AB?=-3.5i 1.5 j
4 Se sabe que las coordenadas de los tres puntos O, A y B son O (0, 0). , A (3, 0) y B (0, 3) respectivamente. El punto P está en el segmento de línea AB,
Y el vector AP=t por el vector AB, (0≤t≤1. ), entonces el valor máximo del vector OA?vector OP es _.
Solución: OA?OP=│OA││OP│cos∠AOP≤│OA│?=9
Cuando t=0, es decir, cuando el punto P coincide con el punto A, OA?OP obtiene el valor máximo 9.
5. Las coordenadas de un vector cuyo ángulo es igual al vector a=(7/2,?) y al vector b=(?,7/2). ) y cuyo módulo es 1 sí_.
Solución: El vector unitario a°=a/│a│=a/(25/2)=2a/25
está en la misma dirección que el vector b Vector unitario b °=b/│b│=b/(25/2)=2b/25
El vector suma de a° y b° c=a° b°=(2/25)( a b)
El ángulo entre los vectores a y b en la dirección del vector c.
El vector unitario c°=c/│c│=c/(2/25 )√2= (a b)/√2=(√2)a/2 (√2)b/2
Entonces las coordenadas del vector unitario c° que es igual al ángulo entre los vectores a y b son ( √2/2, √2/2)
6. Dados tres puntos A(1,2), B(3,1), C(-1,0), intenta responder lo siguiente preguntas:
(1) Utilice coordenadas para representar el vector AB y encuentre su módulo
(2) Encuentre las coordenadas del punto D tales que el vector AB = vector CD
(3) Suponga que el ángulo entre el vector AB y el vector AC es θ y encuentre el valor de cosθ
(4) Encuentre el área del paralelogramo ABCD;
Solución: (1)AB=(3-1, 1-2)=(2, -1), │AB│=√[2?]=√5
(2) Supongamos D(x, y), entonces CD=(x 1, y-0)=(2, -1)
Entre ellos, x 1=2, x =1 , y=-1, entonces D(1,-1)
(3)AC=(-2, -2)
La pendiente de la línea recta donde AB se encuentra k?=-1 /2 La pendiente de la recta AC es k?=1
Por lo tanto, la tangente del ángulo θ de AC a AB tanθ=(k?-k?) /(1 k?k?)=(- 1/2-1)/(1-1/2)=-3
Entonces obtenemos cosθ=-1/√(1 tan?θ) =-1/√10, sinθ=√(1 -1/10)=3/√10,
(4) El área del cuadrilátero plano ABCD es S=│AB││AC │senθ=(√5)×(√8)×(3/√ 10)=6
7. Vector en el plano OA=(1,7), vector OB=(5,1) , vector OP=(2,1), el punto Q es la línea recta OP
Un punto en movimiento.
(1).Cuando el vector QA?vector QB toma el valor mínimo, encuentre las coordenadas del vector OQ.
(2)Cuando el punto Q satisface las condiciones y conclusiones de (1). ) Cuando , encuentre el valor de cos∠AQB.
Solución: (1) Q está en OP, por lo que las coordenadas de Q se pueden establecer como (2y, y), donde 0≤y≤1.
QB=(5 -2y, 1-y), QA=(1-2y, 7-y)
QA?QB=(5-2y)(1-2y) (1-y)(7-y) =5y ?-20y 12=5(y-2)?-8
Cuando y=1, QA?QB obtiene el valor mínimo (-3)
(2) En esta vez Q( 2, 1), QB=(3, 0) QA=(-1, 6)
cos∠AQB=QA?QB/│QA││QB│=-3/; (3√37 )=-1/√37.
8. Se sabe que los vectores a y b son vectores distintos de cero cuando el módulo del vector a t multiplicado por el vector b (t∈R) toma. el valor mínimo:
(1), encuentre el valor de t;
(2), verifique: el vector b es perpendicular al vector a t multiplicado por el vector b.
Solución: (1) Para simplificar el problema, tome la intersección O de a y b como origen de las coordenadas. El vector b está en el eje x y en la misma dirección que el eje x. eje, y a está en el primer cuadrante
En
a tb=(m tk, n)
│a tb│=√[(m kt)? ]=√(k?t? 2mkt m? n?)=√[ k?(t m/k)? n?]≥n
El signo igual se cumple cuando t=-m/k, en esta vez │a tb│min=n, a tb=(0, n)
(2)b?(a tb)=k×0 0×n=0, y b?( a tb)=│b││a tb│cosθ=0
Entre ellos, θ es el ángulo entre a y a tb, │b│≠0, │a tb│≠0, por lo que debe haber ser cosθ=0, es decir, θ=90°
Es decir, b⊥(a tb), así se demuestra.
Se sabe que AD, BE y CF son las tres alturas del triángulo ABC. Demuestre que: AD, BE y CF se cortan en un punto.
Solución: Parece difícil probar esta pregunta usando vectores. Echa un vistazo a la geometría elemental la próxima vez. ¡No hagas tantas preguntas a la vez, lleva demasiado tiempo!