Relaciones básicas de funciones trigonométricas congruentes
⒈Expresiones relacionales básicas de funciones trigonométricas congruentes
Relación recíproca:
tanα ?cotα＝ 1
sinα ?cscα＝1
cosα ?secα＝1
Relación de cociente:
sinα/cosα＝tanα＝secα /cscα
cosα/sinα=cotα=cscα/secα
Relación cuadrada:
sen^2(α)+cos^2(α)=1
1＋tan^2(α)＝sec^2(α)
1＋cot^2(α)＝csc^2(α)
Funciones trigonométricas de ángulos congruentes Hexagonal relacional método de memoria
Método de memoria hexagonal: (ver imágenes o enlaces de referencia)
La estructura se basa en "cuerda superior, corte medio, corte inferior; positivo izquierdo, resto derecho, A medio Como modelo se utiliza un hexágono regular de 1".
(1) Relación recíproca: las dos funciones en la diagonal son recíprocas entre sí.
(2) Relación de cociente: el valor de la función en cualquier vértice del hexágono es igual a El producto de los valores de la función en sus dos vértices adyacentes.
(Principalmente el producto de los valores de la función trigonométrica en ambos extremos de las dos líneas de puntos). A partir de esto, se puede obtener la relación del cociente.
(3) Relación cuadrática: En un triángulo sombreado, la suma de los cuadrados de los valores de la función trigonométrica en los dos vértices superiores es igual al cuadrado del valor de la función trigonométrica en los vértices inferiores.
La fórmula de la suma y diferencia de dos ángulos
⒉La fórmula trigonométrica de la suma y diferencia de dos ángulos
sin (α+β)=sinαcosβ＋cosαsinβ
sin (α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ
cos (α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
cos (α-β)=cosαcosβ+ sinαsinβ
tanα+tanβ
tan（α+β）＝——————
1-tanα ?tanβ
tanα-tanβ
tan (α-β) =——————
1＋tanα ?tanβ
Fórmula del doble ángulo
⒊Fórmula de seno, coseno y tangente de ángulo doble (fórmula de ángulo reducido con potencia elevada)
sin2α＝2sinαcosα
cos2α＝cos^2(α)-sin^2(α)＝2cos ^2(α)-1＝1-2sin^2(α)
2tanα
tan2α＝——————
1-tan^ 2(α)
Fórmula de medio ángulo
⒋Fórmulas de seno, coseno y tangente de medio ángulo (fórmula de expansión de potencia reductora)
1-cosα
sen^2(α/2)＝——————
2
1+cosα
cos^2(α/ 2)＝——————
2
1－cosα
tan^2(α/2)＝——————
1+cosα
Fórmula universal
⒌Fórmula universal
2tan(α/2)
sinα＝— —————
1＋tan^2(α/2)
1－tan^2(α/2)
cosα＝———— ——
1＋tan^2(α/2)
2tan(α/2)
tanα＝——————
1-tan^2(α/2)
Derivación de fórmula universal
p>
Derivación adjunta:
sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/ (cos^2(α)+sin^2(α))......*,
(Porque cos^2(α)+sin^2(α)=1)
Luego divide la fracción * hacia arriba y hacia abajo por cos^2(α), podemos obtener sin2α=tan2α/(1+tan^ 2(α))
Luego reemplaza α con α /2.
De manera similar, se puede derivar la fórmula universal del coseno. La fórmula universal de la tangente se encuentra comparando el seno con el coseno.
Fórmula del triple del ángulo
⒍Las fórmulas del seno, coseno y tangente del triple del ángulo
sin3α＝3sinα－4sin^3(α)
cos3α＝4cos^3(α)－3cosα
3tanα－tan^3(α)
tan3α＝——————
1－ 3tan^2(α)
Derivación de la fórmula del triple ángulo
Derivación adjunta:
tan3α＝sin3α/cos3α
＝(sin2αcosα＋cos2αsinα) /(cos2αcosα-sin2αsinα)
＝(2sinαcos^2(α)+cos^2(α)sinα-sin^3(α))/(cos^3(α )-cosαsin^2(α )-2sin^2(α)cosα)
Dividimos lo mismo de arriba y de abajo por cos^3(α) para obtener:
tan3α=( 3tanα-tan^3(α))/ (1-3tan^2(α))
sin3α＝sin(2α＋α)＝sin2αcosα＋cos2αsinα
＝2sinαcos^2(α)＋ (1-2sin^2(α)) sinα
＝2sinα-2sin^3(α)+sinα-2sin^2(α)
＝3sinα-4sin^3( α)
cos3α＝ cos(2α+α)＝cos2αcosα-sin2αsinα
＝(2cos^2(α)-1)cosα-2cosαsin^2(α)
＝2cos^3(α)-cosα+ (2cosα-2cos^3(α))
＝4cos^3(α)-3cosα
Es decir,
sin3α＝3sinα-4sin^3(α )
cos3α＝4cos^3(α)-3cosα
Memoria asociativa de fórmula de triple ángulo
Método de memoria: homofonía, asociación
Seno tres veces el ángulo: 3 yuanes menos 4 yuanes y 3 jiao (estamos endeudados (reducidos a un número negativo), por lo que tenemos que "hacer dinero" (suena como "seno"))
Coseno tres veces el ángulo: 4 yuanes 3 Resta 3 yuanes del ángulo (hay "resto" después de la resta)
☆☆ Preste atención al nombre de la función, es decir, tres veces el ángulo del seno se expresa mediante seno y tres veces el ángulo del coseno se expresa mediante coseno.
Fórmula del producto de suma y diferencia
⒎Fórmula del producto de suma y diferencia de funciones trigonométricas
α+β α-β
senα+sinβ =2sin— ----?cos——---
2 2
α＋β α－β
sinα－sinβ＝2cos——-- --?sin—— ----
2 2
α＋β α－β
cosα＋cosβ＝2cos——-----?cos— —-----
p>
2 2
α+β α-β
cosα-cosβ=-2sin—--- --?sin——-----
2 2
Fórmula de integración y diferencia
⒏Fórmula de integración y diferencia de funciones trigonométricas
sinα ?cosβ＝0.5[sin（α＋β）＋sin (α-β)]
cosα ?sinβ=0.5[sin (α+β)-sin (α-β)]
cosα ?cosβ=0.5[cos (α+β)+cos ( α-β)]
sinα ?sinβ＝-0.5[cos (α+β)-cos (α-β) ]