Para una función de valor real definida en un intervalo cerrado, la suma de Riemann con respecto a la división muestral, se define como la siguiente suma:
Cada término de la suma es un subintervalo El producto de la longitud por el valor de la función en . Intuitivamente hablando, la distancia desde el punto marcado hasta el eje X es la altura y el subintervalo dividido es el área del rectángulo largo. Hablando de manera menos estricta, la integral de Riemann es el límite de la tendencia de la suma de Riemann cuando la segmentación se vuelve cada vez más "fina". En la siguiente prueba, se definirá estrictamente "cada vez más 'bien'".
Para que "cada vez más" fino "" sea efectivo, es necesario que tienda a 0. Sólo de esta manera el valor de la función se acercará a , y la diferencia entre la suma de las áreas rectangulares y el área "bajo la curva" será cada vez menor. De hecho, ésta es una descripción aproximada de la definición de la integral de Riemann.
Estrictamente definida de la siguiente manera: Es la integral de Riemann de una función en un intervalo cerrado, si y sólo si para cualquier , existe, de modo que para cualquier división muestral, , siempre que la longitud de su subintervalo es el máximo, Hay:
Es decir, para una función, si está en un intervalo cerrado, no importa cómo se divida el muestreo, siempre que la longitud máxima de su subintervalo es lo suficientemente pequeña, la suma de Riemann de la función tenderá a uno. Si se determina el valor, entonces la integral de Riemann en el intervalo cerrado existe y se define como el límite de la suma de Riemann. En este momento, la función se llama integrable de Riemann. .
La desventaja de esta definición es que no es operable, porque es difícil probar todas las divisiones de muestreo. A continuación introducimos otra definición y demostramos que son equivalentes.
Otra definición: es la integral de Riemann de una función en un intervalo cerrado, si y sólo si para cualquiera, existe una partición de muestreo, tal que para cualquier partición "fina" y, Sí:
Estas dos definiciones son equivalentes. Si algo satisface una de las definiciones, también satisface la otra. Primero, si hay uno que satisface la primera definición, entonces solo necesita elegir cualquiera de las divisiones con la longitud máxima del subintervalo. Para una segmentación más detallada, la longitud máxima del subintervalo obviamente será menor que esto, por lo que satisface
En segundo lugar, se demuestra que satisfacer la segunda definición también satisface la primera definición. Primero, se introduce el concepto de integral de Darboux. La segunda definición es equivalente a la definición de integral de Darboux. Para más detalles, consulte la integral de Darboux (este motivo no se explica en el artículo sobre la integral de Darboux, solicitud fuente). En segundo lugar, demostramos que la definición de integral de Darboux satisface la primera definición. Elija cualquier partición tal que sus sumas Darb superior e inferior no superen . Sea igual a , donde y son el supremo y el infinito arriba. Zai Ling es la menor de la suma. Se puede ver que cuando la longitud máxima de un subintervalo dividido es menor que , la suma de Riemann difiere de la suma de Darboux superior o de la suma de Darboux inferior como máximo, por lo que la suma difiere de como máximo.
Por las razones anteriores, la integral de Riemann generalmente se define como la integral de Darboux (la segunda definición), porque la integral de Darboux es más simple y más operable que la integral de Riemann.