números naturales
Un método especial para proposiciones relacionadas con n, utilizado principalmente para estudiar
enteros positivos
Los problemas matemáticos relacionados se utilizan a menudo en matemáticas de la escuela secundaria para demostrar el establecimiento de ecuaciones y la fórmula general de una secuencia.
(1) El primer método de inducción matemática:
En términos generales, para demostrar que una proposición p(n) está relacionada con el número natural n, existen los siguientes pasos:
(1) demuestra que la proposición es verdadera cuando n toma el primer valor n0. El valor de n0 generalmente se indica como 0 o 1, pero existen algunos casos especiales.
(2) Supongamos que cuando n=k (
K≥n0, k es un número natural.
) Se demuestra que la proposición es verdadera cuando n=k 1 .
Sintetizando (1)(2), la proposición p(n) es válida para todos los números naturales n(≥n0).
(2) El segundo método de inducción matemática:
Para una proposición p(n) relacionada con números naturales,
(1) Verifique que cuando n= p(n) se cumple cuando n0;
(2) Supongamos que n0 ≤ n
Sintetizando (1)(2), la proposición p(n) se aplica a todos los números naturales n( ≥n0) establecido.
(3) Inducción hacia atrás:
(1) Verificar que la proposición p(n) es verdadera para una infinidad de números naturales (infinidad de números naturales pueden estar en secuencias infinitas Número, como la prueba de desigualdades aritméticas y geométricas es 2 k, k≥1);
(2) Suponga que p(k 1)(k≥n0) está establecido y, sobre esta base, derive p (k) se establece.
Sintetizando (1) (2), la proposición p(n) es verdadera para todos los números naturales n (≥n0);
Inducción espiral
Para cuestiones relacionadas con los números naturales Las dos proposiciones p(n), q(n),
(1) Verifique que p(n) se cumpla cuando n=n0; Supongamos que p(k )(k >; N0) se cumple y se puede deducir que q(k) se cumple. Supongamos que Q(k) se cumple y se puede deducir.
P(k 1) se cumple;
La síntesis (1) (2) se aplica a todos los números naturales n (≥n0), p(n) y q(n).
Se están aplicando variaciones de la inducción matemática, y la inducción matemática a menudo requiere algunos cambios para satisfacer las necesidades prácticas. A continuación se muestran algunas variaciones comunes de la inducción matemática.
Empiece con un número distinto de cero.
Si la proposición que queremos demostrar no es para todos los números naturales, sino sólo para todos los números naturales mayores o iguales a un determinado número b, entonces los pasos de la demostración deben modificarse de la siguiente manera:
El primer paso, Demostrar que la proposición es verdadera cuando n = b.
El segundo paso es demostrar que si n=m (m≥b) es verdadero, entonces se puede deducir que n=m 1 también es verdadero.
De esta manera, se puede demostrar que cuando n≥3, N2>2n" es la proposición.
Se aplica sólo a números pares o sólo a números impares.
Si la proposición que queremos demostrar no es para todos los números naturales, sino sólo para todos los números pares o impares, entonces los pasos de la demostración deben modificarse de la siguiente manera:
Aspectos extraños:
El primer paso, demostrar que la proposición es verdadera cuando n=1.
El segundo paso es demostrar que si n=m es verdadera, entonces se puede deducir que n. =m 2 también es cierto:
El primer paso es demostrar que la proposición es verdadera cuando n=0 o 2.
El segundo paso es demostrar que si n=m es cierto, entonces se puede deducir que n=m 2 también es cierto.
Inducción decreciente
La inducción matemática se puede aplicar no sólo a proposiciones de la forma "para cualquier n=". 0, 1, 2,...,m", Si la n general es más compleja y n=m es más fácil de verificar, podemos implementar la recursividad de k a k-1, k=1,...,m, entonces nosotros