(1) Punto interior: si el punto existe en un determinado dominio, se llama punto interior.
(2) Punto atípico: si el punto existe en un determinado dominio, se denomina punto atípico.
(3) Punto límite: si cualquier dominio de un punto contiene tanto puntos pertenecientes como puntos no pertenecientes, se denomina punto límite.
Todos los puntos límite se denominan límites y se denotan como .
El punto interior debe pertenecer a , el punto exterior no debe pertenecer a , y el punto límite puede pertenecer o no a .
Punto de convergencia: Para cualquier punto dado, si siempre hay un punto medio en el campo centrípeto de un punto, se llama punto de convergencia.
Conjunto abierto: Si todos los puntos de un conjunto de puntos son puntos interiores, se denomina conjunto abierto.
Conjunto cerrado: Si la frontera de un conjunto de puntos se denomina conjunto cerrado.
Conjunto conectado: si dos puntos cualesquiera de un conjunto de puntos pueden conectarse mediante una polilínea y todos los puntos de la polilínea pertenecen a ella, se denomina conjunto conectado.
Región (o región abierta): Un conjunto abierto conectado se denomina región.
Área cerrada: Se denomina área cerrada al conjunto de puntos formado por el área abierta y sus límites.
Conjunto acotado: Para un conjunto de puntos planos, si hay un número positivo y este número positivo es el origen de las coordenadas, se llama conjunto acotado.
Conjunto ilimitado: Si un conjunto es ilimitado, se denomina ilimitado.
Supongamos que el dominio de la función binaria es el punto de agregación. Si hay una constante, para cualquier número positivo dado, siempre hay un número positivo que hace que todos los puntos sean válidos, entonces esta constante se llama límite de la función, denotada como
Supongamos que la definición de un binario función El dominio es el punto de convergencia de sí, y si es así, se dice que la función es continua en ese punto.
Supongamos que una función se define arriba y cada punto en ella es el punto de agregación del dominio de la función. Si una función es continua en todo punto, se dice que la función es continua en el mundo, o que la función es continua en el mundo.
Supongamos que el dominio de la función es el punto de agregación. Si la función es discontinua en este punto, se llama punto de discontinuidad de la función.
Todas las funciones elementales multivariantes (las funciones elementales multivariantes se refieren a funciones multivariantes que pueden expresarse mediante una fórmula) son continuas dentro de su área de definición. La llamada área de definición se refiere a aquellas contenidas en el área de definición o cerradas. área.
Supongamos que la función está definida en un determinado dominio de puntos. Cuando está fijo en y hay un incremento en ese punto, la función correspondiente tiene un incremento. Si existe, este límite se llama derivada parcial de la función en ese punto, denotado como
Del mismo modo, la derivada parcial de la función en un punto se define como
Registro
Si una función de una variable tiene una derivada en un punto determinado, entonces debe ser continua en ese punto. Sin embargo, para una función multivariada, incluso si todas las derivadas parciales existen en un punto determinado, las hay. no hay garantía de que la función deba ser continua en ese punto, porque cada parcial La existencia de la derivada solo puede garantizar que el valor de la función tenderá cuando el punto tienda en la dirección paralela al eje de coordenadas, pero no garantiza que el valor de la función tenderá cuando el punto tienda de alguna manera.
Supongamos que la función tiene derivadas parciales en la región.
Entonces, si las derivadas parciales de estas dos funciones también existen, se llama derivada parcial de segundo orden de la función:
¿Teorema? Si dos derivadas parciales mixtas de segundo orden de una función son continuas en una región, entonces las dos derivadas parciales mixtas de segundo orden deben ser iguales en la región. Es decir, en condiciones continuas, la derivada parcial mixta de segundo orden no tiene nada que ver con el orden de derivación.
Supongamos que una función está definida en el dominio de un punto, si la función está en el incremento completo del punto.
Se puede expresar como
Cuando no depende de sino que solo está relacionado con, se dice que la función es diferenciable en ese punto, y se llama diferencial total de la función. en ese punto, registrado como
Se dice que una función es internamente derivable si es derivable en cada punto de la región.
La existencia de derivadas parciales de una función multivariada en un determinado punto no garantiza la continuidad de la función en ese punto, sin embargo, si una función es derivable en un determinado punto, entonces debe ser continua en ese punto; ese punto.
Teorema 1 Si una función es derivable en un punto, entonces la derivada parcial de la función en un punto debe existir, y la derivada total de la función en un punto es
Teorema 2? Si la derivada parcial de una función es continua en un punto, entonces la función se puede derivar en ese punto.
Supongamos que una función tiene derivadas parciales continuas, entonces tiene una diferencial total.
Si además es una variable intermedia, es decir, y las dos funciones también tienen derivadas parciales continuas, el diferencial total de la función compuesta es
Se puede obtener de la fórmula en 4.2
Teorema 1 Si la suma de una función es derivable en el punto y la función tiene derivadas parciales continuas en el punto correspondiente, entonces la función compuesta es derivable en el punto y tiene.
Esto se llama diferenciación total.
¿Teorema 2? Si la función suma tiene pares y pares de derivadas parciales en puntos, y la función tiene derivadas parciales continuas en puntos correspondientes, entonces ambas derivadas parciales de la función compuesta en puntos existen y están presentes.
¿Teorema 3? Si una función tiene pares y pares de derivadas parciales en un punto, una función es derivable en un punto y una función tiene derivadas parciales continuas en el punto correspondiente, entonces ambas derivadas parciales de la función compuesta en un punto existen y tienen.
No importa de quién se derive la derivada y cuántas derivadas se obtengan, la nueva función después de la derivación todavía tiene la misma estructura compuesta que la función original.
¿Cuál es el teorema de existencia de la función implícita 1? Suponiendo que la función tiene derivadas parciales continuas en un determinado dominio en un determinado punto, entonces la ecuación siempre puede determinar de forma única una función continua que tiene derivadas continuas en un determinado dominio en un determinado punto, que satisface las condiciones y tiene
Esta fórmula se incorporará a la ecuación y luego se derivará de ambos lados de la ecuación.
¿Teorema 2 de existencia de funciones implícitas? Suponiendo que la función tiene derivadas parciales continuas en un determinado dominio en un determinado punto, entonces la ecuación siempre puede determinar de forma única una función continua que tiene derivadas continuas en un determinado dominio en un determinado punto, que satisface las condiciones y tiene
De la misma manera, póngalo en la ecuación y luego obtenga la derivada en ambos lados de la ecuación.
¿Teorema 3 de existencia de funciones implícitas? Supongamos que una función tiene una derivada parcial continua para cada variable en un determinado dominio en un punto, y la derivada parcial es el determinante de la función.
Si el punto no es igual a cero, el sistema de ecuaciones siempre puede determinar de forma única una función continua con derivadas continuas en un determinado dominio en el punto. Califican y derivan ambos lados de la ecuación y luego resuelven la ecuación.
Supongamos que la ecuación paramétrica de la curva espacial es
Supongamos que las tres funciones son todas diferenciables en el límite superior y que las tres derivadas no son cero al mismo tiempo.
Establece el parámetro correspondiente al punto como, recuerda, entonces el vector es el vector tangente de la curva en ese punto, entonces la ecuación tangente de la curva en ese punto es
Pasa por el punto y es perpendicular al plano de la recta tangente se llama plano normal de la curva en ese punto, es decir, el plano que pasa por el punto y se toma como vector normal. Por lo tanto, la ecuación del plano normal es
Dejemos que la superficie esté dada por la ecuación y sea un punto de la superficie, sea la derivada parcial de la función sea continua en este punto y sea cero en diferentes momentos. . El plano formado por las tangentes de todas las curvas que pasan por el punto de la superficie se llama plano tangente de la superficie en ese punto, y su ecuación es
La recta que pasa por un punto y es perpendicular al La superficie tangente se llama normal a la superficie en ese punto, la ecuación es
El vector perpendicular a la superficie tangente de la superficie se llama vector normal de la superficie, y el vector
es el vector normal de la superficie en un punto determinado.