Preparación docente para el caso de estudio 1 sobre la enseñanza de derivadas de segundo orden en escuelas secundarias
1 Objetivos docentes
(1) Comprender el concepto de tasa promedio de cambiar.
(2) Comprender los conceptos de velocidad instantánea, tasa de cambio instantáneo y suma.
(3) Comprender el concepto de derivadas
(4) Encontrar la derivada o tasa de cambio instantánea de una función en un punto determinado.
2. Enfoque de la enseñanza/puntos de dificultad
Enfoque de la enseñanza: la formación y comprensión de los conceptos de velocidad instantánea y tasa de cambio instantánea, así como el concepto de derivadas.
Dificultad de enseñanza: Encuentra la derivada de una función simple y=f(x) en x=x0.
3. Herramientas didácticas
Escritura multimedia y en pizarra
Etiqueta
Proceso de enseñanza
Primero, crea una escenario, Presentando el tema
En el siglo XVII, en la etapa inicial del desarrollo del capitalismo en Europa, la transición de la industria artesanal a la producción mecánica aumentó la productividad y promovió el rápido desarrollo de la ciencia y la tecnología. Entre ellos, el logro más destacado fue la creación del cálculo.
Board Performance/PPT
El profesor descubrió que existe una función entre la altura H (unidad: metros) del buceador de plataforma alta con respecto a la superficie del agua y el tiempo T ( unidad: segundos) después del despegue.
h(t)=-4,9t2+6,5t+10.
¿Cómo utilizar la velocidad media de los deportistas en determinados periodos de tiempo para describir de forma aproximada su estado deportivo?
Board Performance/PPT
Deje que los estudiantes hablen libremente. Los profesores no tienen prisa por sacar conclusiones, pero continúan guiando a los estudiantes: si quieren saber cuál es la conclusión, observemos y exploremos juntos.
La intención del diseño fluye naturalmente hacia el contenido del tema.
En segundo lugar, explorar nuevos conocimientos
[1] Problema de tasa de cambio
Investigación cooperativa
1 Discusión sobre la tasa de inflación del globo
p>
Mucha gente ha inflado globos. Pensando en el proceso de inflar un globo, puedes encontrar que a medida que aumenta el volumen de aire en el globo, el radio del globo aumenta cada vez más lentamente. ¿Cómo describir matemáticamente este fenómeno?
La relación funcional entre el volumen V (unidad: L) y el radio R (unidad: dm) del globo es
Si el radio r se expresa en función de la volumen v, luego
p>
Desempeño de la Junta Directiva/PPT
Actividades
Análisis
Cuando V aumenta de 0 a 1, el radio del globo aumenta y el inflado promedio del globo La tasa es (1). Cuando V aumenta de 1 a 2, el radio del globo aumenta y la tasa de inflación promedio del globo.
0.62 & gt0.16
Se puede observar que a medida que aumenta el volumen del globo, su tasa de inflación promedio disminuye gradualmente.
¿Cuál es la tasa de inflado promedio del globo cuando el volumen de aire aumenta de V1 a V2?
Análisis:
Explore 2 Saltos en Plataforma
En saltos en plataforma, la altura h (unidad: metros) del atleta en relación con la superficie del agua y el tiempo t después del despegue (Unidad: segundos) Existe una relación funcional entre ellos. h(t)=-4,9t2+6,5t+10.
¿Cómo utilizar la velocidad media de los deportistas en determinados periodos de tiempo para describir de forma aproximada su estado deportivo?
(Por favor, calcule)
Rendimiento de la junta/PPT
Los estudiantes levantan la mano para responder.
Los estudiantes activos encuentran el problema valioso y desafiante, y están ansiosos por saber cómo resolverlo.
Análisis del profesor: h(t)=-4.9t2+6.5t+10.
Las dos preguntas sobre la intención del diseño están ordenadas de fácil a difícil, lo que permite a los estudiantes avanzar paso a paso. Su función es introducir el concepto de tasa de cambio y profundizar la comprensión del concepto de tasa de cambio.
Investigación 3: Calcule las puntuaciones de los atletas
La velocidad promedio durante este período y piense en las siguientes preguntas:
(1) ¿Los atletas todavía allí durante este período?
(2) ¿Crees que hay algo de malo en utilizar la velocidad promedio para describir el estado atlético de un atleta?
Board Performance/PPT
Los estudiantes levantan la mano para responder.
En el buceo en plataforma, la velocidad media no refleja con precisión su estado de movimiento durante este periodo.
Actividades* * *Profesores y alumnos se resumen entre sí.
Tasa de cambio promedio:
La relación funcional en los dos problemas anteriores está representada por y=f(x), por lo que la tasa de cambio en el problema se puede expresar mediante una fórmula.
A esta fórmula la llamamos tasa de cambio promedio de la función y=f(x) de x1 a x2.
Se acostumbra utilizar δ x = x2-x1, δ y = f (x2)-f (x1).
Aquí, δx se considera el "incremento" de x1. x2 se puede reemplazar por x 1+δx.
De manera similar, δ y = f (x2)-f (x1), por lo que la tasa de cambio promedio se puede expresar como:
Geométricamente, el cambio promedio en la imagen de la observación función f(x) ¿Cuál es el significado geométrico de tasa?
Pregunta 2 Cuando δ t se acerca a 0, ¿cuál es la tendencia de la velocidad promedio?
La velocidad promedio de 2 s a (2+△t) s
Cuando △t se acerca a 0, es decir, si T se acerca a 2 desde el lado menor que 2 o se acerca a 2 desde el lado mayor que 2, y la velocidad promedio se acerca a un cierto valor: 13,1.
Desde un punto de vista físico, cuando el intervalo de tiempo |△t| es infinitamente pequeño, la velocidad promedio se aproximará infinitamente a la velocidad instantánea en t = 2. Por lo tanto, la velocidad instantánea del atleta en t = 2 es –13,1 m/s.
Por conveniencia de expresión, usamos xx para representar “cuando t = 2, △ t y △t se acercan a 0, el promedio La velocidad se acerca a un valor constante –13,1”.
Velocidad instantánea
Usamos
Cuando t = 2 y δt se aproxima a 0, la velocidad media tiende a un determinado valor -13,1.
Utilice velocidad uniforme en lugar de velocidad variable local y utilice velocidad media en lugar de velocidad instantánea. Luego, el valor aproximado de la velocidad instantánea se convierte en un valor exacto de la velocidad instantánea tomando el límite. Entonces, ¿cuál es la velocidad instantánea del atleta en un momento determinado?
La intención del diseño es permitir a los estudiantes realizar la idea de acercarse desde la velocidad promedio a la velocidad instantánea: cuanto menor es δt, más cerca está V de la velocidad instantánea cuando t=2 segundos.
Pregunta 3:
(1). ¿Cuál es la velocidad instantánea del atleta en un momento determinado t0?
(2) ¿Cómo expresar la tasa de cambio instantánea de la función f(x) en x = x0?
El concepto de derivada:
Generalmente, la tasa de cambio instantánea de la función y = f (x) cuando x = x0
se llama función y = f La derivada de (x) en x = x0 se registra como
O,
Promoción resumida
Según la definición de derivada, encuentre la función y = f (x Método general para la derivada de ):
[3]Ejemplo
Refinar petróleo crudo para obtener gasolina, diésel, plásticos y otros productos diferentes requiere enfriamiento y calentamiento del crudo aceite. Si la temperatura del petróleo crudo en la hora 6 (unidad:) es y = f(x)= x2–7x+15 (0≤x≤8), calcule la temperatura del petróleo crudo en la hora 2 y la hora 6.
Solución: A las 2h y 6h, la tasa de cambio instantáneo de la temperatura del petróleo crudo
A las 2h y 6h, la tasa de cambio instantáneo de la temperatura del petróleo crudo es –3 y 5 respectivamente , lo que indica que la temperatura del petróleo crudo disminuye a un ritmo de aproximadamente 3/h en aproximadamente 2 horas. Alrededor de la sexta hora, la temperatura del petróleo crudo aumenta a un ritmo de aproximadamente 5/hora.
Ejemplo 2 de los requisitos de aprendizaje para el plan de lección de derivadas de segundo orden
1. Función y=c, y= Las derivadas de x, y=x2, y=1x se pueden encontrar según la definición.
2. La fórmula derivada de funciones elementales básicas se puede utilizar para encontrar la derivada de funciones simples.
Guía del método de estudio
1. Utilice la definición de derivada para derivar la fórmula derivada de funciones simples, haga una analogía con la fórmula derivada de funciones polinomiales generales y realice la idea de especial a general. .
Al aclarar el proceso de derivación, podemos cultivar la capacidad de resumir y explorar reglas y mejorar nuestro interés en aprender.
2. Las fórmulas de esta sección son la base para las siguientes lecciones. Memorizar las fórmulas con precisión es la clave para aprender bien el contenido de este capítulo. Al memorizar fórmulas, preste atención a la relación entre fórmulas. Por ejemplo, la fórmula 6 es un caso especial de la fórmula 5, la fórmula 8 es un caso especial de la fórmula 7 y la posición de ln a en la fórmula 5 y la fórmula 7 es diferente.
1. Derivadas de varias funciones comunes
Funciones derivadas de la función original
f(x)= c f′(x)= c
f(x)= x f′(x)= 1
f(x)= x2 f′(x)= 1
f(x)=1x
f′(x)= 1
f(x)=x
f′(x)= 1
2. Fórmula derivada de la función
Función derivada de la función original
f(x)= c f′(x)= c
f(x)= xα(α ∈Q *)f′(x)= 1
f(x)= sin x f′(x)= 1
f(x)= cos x f′(x)= 1
f(x)= ax f′(x)=(a & gt; 0)
f(x)= ex f′(x)= 1
f(x)=logax
f′(x)=(a>0 y a≠1)
f(x)= ln x f′( x) = 1
Explora las derivadas de varias funciones de uso común en el primer punto
Pregunta 1 ¿Cómo encontrar la derivada de la función y=f(x) por definición?
Pregunta 2: Utilice definiciones para encontrar las derivadas de las siguientes funciones de uso común: (1)y = c(2)y = x(3)y = x2(4)y = 1x(5) y = x.
El significado geométrico de la derivada de la pregunta 3 es la pendiente de la recta tangente de la curva en un punto determinado. El significado físico es la velocidad instantánea de un objeto en movimiento en un momento determinado. ¿Cuál es el significado físico de la derivada de la función (1) y =f(x)=c(constante)?
(2) ¿Cuál es el significado físico de la derivada de la función y=f(x)=x?
Pregunta 4: Dibuja la gráfica de la función y=1x. Según la imagen, describe sus cambios y encuentra la ecuación tangente de la curva en el punto (1, 1).
Explorando el segundo punto de la fórmula derivada de funciones elementales básicas
Pregunta 1: Usando la definición de derivada, podemos encontrar la función derivada de la función, pero la operación es más Complicado y algunas fórmulas de funciones no se pueden deformar. ¿Cómo solucionar este problema?
Pregunta 2: ¿Puedes encontrar la relación entre las fórmulas derivadas de las ocho funciones elementales básicas?
Ejemplo 1 Encuentre la derivada de la siguiente función: (1) y = sinπ3; (2) y = 5x; (3) y = 1x 3; y = log3x.
Traza 1 para encontrar las derivadas de las siguientes funciones: (1) y = x8; (2) y = (12) x; (3) y = xx; >
Ejemplo 2 Determine si el siguiente cálculo es correcto.
Encuentra la derivada de y=cos x en x=π3. El proceso es el siguiente: y′=′=-senπ3 =-32.
La traza 2 encuentra la derivada de la función f(x)=13x en x=1.
Aplicación integral de la fórmula derivada de tercer orden de puntos de consulta
Ejemplo 3 Se sabe que la recta x-2y-4=0 y la parábola y2=x se cruzan en dos puntos A y B, O es el origen de coordenadas. Intenta encontrar un punto P en el arco de la parábola para maximizar el área de △ABP.
Trazar 3 puntos p es cualquier punto y=ex de la curva y encontrar la distancia mínima desde el punto p hasta la línea recta y = X.
Prueba estándar
1. Dé las siguientes conclusiones: ① Si y=1x3, entonces y′=-3 x4 ② Si y=3x, entonces y′= 133 x
③ Si y=1x2, entonces y ' =-2x-3; ④Si f(x)=3x, entonces f′(1)=3.
El número correcto es (?)
A.1
2 Si la función f(x)=x, entonces f′(3) es igual a (?)
A.36 B.0 C.12x D.32
3. Supongamos que hay un punto p en la curva sinusoidal y = y = sen x, y la recta tangente al punto p. como el punto tangente es una recta L, entonces el rango de inclinación de la recta L es (?)
A.[0, π4]∩[3π4, π]b .[0, π]c .[π4, 3π4] D.[0, π4] ∩[π2, 3π4]
4. El área del triángulo formado por la tangente de la curva y=ex en el punto (2). , e2) y el eje de coordenadas es _ _ _ _ _ _ _ _.