f'(x)=a(1-2/x)-1/ x^2+2/x^3
=(1-2/x)(a-1/x^2)
=(x-2)(ax^2 -1)/x^3.
(1)a & lt;=0 ax 2-1
x & gt2Cuando f' (x) < 0, f( x) es una función decreciente.
a & gt están en 0, ax 2-1 = a(x+1/√a)(x-1/√a), que se conoce mediante el método de notación de ejes ordinales.
I) x >Cuando a = 1/4; 2 horas f'(x)>0, f(x) es una función creciente 0 & ltx & lt2 cuando f' (x) < 0; cuando, f(x) es una función decreciente;
ii)0 & lt; a & lt0 < en 1/4 o x & gtF' (x) en 1/√a >; : 0, f(x) es una función creciente,
2 & ltx & ltF' (x) cuando 1/√a < 0, f(x) es una función decreciente;
iii )a & gt; 0 < en 1/4; x & lt1/√a o x & gt2 horas f'(x)>0, f(x) es una función creciente,
1/√a <x <2Cuando f' (x) < 0, f(x) es una función decreciente.
(2)f(x) tiene dos ceros:
I)a & lt; cuando = 0, f(2)= a(2-2ln 2)+ 1/ 4 >; 0,
so-1/(8-8ln 2)< a & lt;=0;
ii)a & gt; ; 0,
f(1/√a)= a(1/√a+lna)+√a-a & lt; 0,
Es decir, 2+√ alna- √ a
Supongamos u=√a, g(u)=2+2ulnu-u,
g'(u)=2lnu+1=0, u0=1 /√ e,
g(u)>= g(u0)= 2-2/√e & gt;
Entonces ① no tiene solución, f(x) no tiene solución Dos ceros.
Resumiendo, -1/(8-8ln 2)< a <=0.