Funciones elementales básicas
1. Funciones exponenciales
(1) Operaciones de exponentes y potencias exponenciales
1. : Generalmente, si , entonces se llama raíz enésima, donde gt; 1 y ∈ *.
Cuando es un número impar, la raíz cuadrada de un número positivo es un número positivo y a número negativo La raíz cuadrada de es un número negativo. En este momento, la raíz cuadrada de está representada por un símbolo. La fórmula se llama radical (radical), aquí se llama exponente radical (exponente radical), y es. llamado radicando (radicando).
Cuando es un número par, hay dos raíces cuadradas de un número positivo, y estos dos números son opuestos entre sí. En este momento, la raíz cuadrada positiva de. un número positivo está representado por el símbolo y la raíz cuadrada negativa está representada por el símbolo -. Las raíces cuadradas positivas y las raíces cuadradas negativas se pueden combinar en ± (gt; 0). raíces cuadradas pares de números negativos; cualquier raíz cuadrada de 0 es 0 y se registra como .
Nota: Cuando es un número impar, cuando es un número par,
2. Potencia del exponente fraccionario
El significado de la potencia del exponente fraccionario. de un número positivo se estipula:
1. La potencia del exponente fraccionario positivo de 0 es igual a 0.
2 La potencia del exponente fraccionario negativo de 0 no tiene sentido
.Señale: Se especifica la fórmula para la potencia del exponente fraccionario. Después del significado, el concepto de exponente se extiende del exponente entero al exponente del número racional, luego las propiedades operativas de la potencia del exponente entero también se pueden extender al exponente del número racional. potencia.
3. Las propiedades operativas de la potencia exponencial de números reales
(2) Función exponencial y sus propiedades
1. , la función se llama función exponencial (exponencial), donde x es la variable independiente y el dominio de la función es R.
Nota: El rango de la base de la función exponencial no puede ser un número negativo, cero o 1.
2. La imagen y propiedades de la función exponencial
1 , agt; 3. Extender infinitamente en las direcciones positiva y negativa de los ejes xey
4 El dominio de la función es R
p>5. y el eje y
6 Funciones no pares y no impares
7 Las gráficas de funciones están todas por encima del eje x
8. El rango de valores de la función es R
9. La gráfica de la función pasa por el punto fijo (0, 1)
Mirando de izquierda a derecha, la gráfica se muestra gradualmente. sube;
Mirando de izquierda a derecha, la imagen disminuye gradualmente.
Función creciente; función decreciente
Las ordenadas de la imagen en el primer cuadrante son todas mayores que 1
Las ordenadas de la imagen en el primer cuadrante son todo Menos de 1
Las ordenadas de las imágenes en el segundo cuadrante son todas menores que 1
Las ordenadas de las imágenes en el segundo cuadrante son todas mayores que 1
Fig. La tendencia ascendente de la imagen es cada vez más pronunciada; la tendencia ascendente de la imagen se vuelve cada vez más lenta
El valor de la función comienza a crecer lentamente y, después de alcanzar un cierto valor, crece. muy rápido;
La función El valor comienza a disminuir muy rápidamente, y después de alcanzar un cierto valor, la velocidad de disminución se vuelve más lenta;
Nota: Usando la monotonicidad de la función, también se puede ver combinado con la imagen:
2. Función logarítmica
(1) Logaritmo
1. El concepto de logaritmo: Generalmente, si, entonces. el número se llama logaritmo con base y se registra como: ( — base, — números reales, — logaritmos)
Explicación:
1) Preste atención a las restricciones sobre la base , y;
2) Presta atención al formato de escritura de los logaritmos.
2. Dos logaritmos importantes:
1 Logaritmos comunes: logaritmos con base 10;
2 Logaritmos naturales: números irracionales como base El logaritmo del logaritmo de >
Logaritmos ← → exponentes
Números reales ← → potencias
(2 ) Propiedades operativas de los logaritmos
Nota: fórmula de cambio de base
p>Utilice la fórmula de cambio de base para derivar las siguientes conclusiones (1).
(2) Función logarítmica
1. El concepto de función logarítmica: función, y se llama función logarítmica, donde es la variable independiente y el dominio de la función es (0, ∞).
Nota:
1) La definición de función logarítmica es similar a la función exponencial, todas son definiciones formales, preste atención para distinguirlas.
Por ejemplo: , no son funciones logarítmicas, pero solo pueden llamarse funciones logarítmicas.
2) Las restricciones sobre la base de las funciones logarítmicas: , y.
2. Propiedades de las funciones logarítmicas:
agt; 1
Propiedades de las funciones
1 Las gráficas de funciones están todas en el lado derecho del eje y.
p>2 El dominio de la función es (0, ∞)
3 La imagen es asimétrica respecto al origen y el eje y
4 No -Funciones impares y no pares
5 se extiende infinitamente en las direcciones positivas y negativas del eje y
6 El rango de valores de la función es R
<. p>7. La gráfica de la función pasa por el punto fijo (1, 0)Mirando de izquierda a derecha, la imagen aumenta gradualmente
Mirando de izquierda a derecha, la imagen disminuye gradualmente
Función creciente
Función decreciente
Las ordenadas de la imagen en el primer cuadrante son todas mayores que 0
Las ordenadas de la imagen en el primer cuadrante son todas mayores que 0
Las ordenadas de la imagen en el segundo cuadrante son todas menores que 0
Las ordenadas de la imagen en el segundo cuadrante son todos menores que 0
(3) Función de potencia
1 Definición de función de potencia: Generalmente, en la forma de La función se llama función de potencia, donde es una constante. .
2. Inducción de las propiedades de las funciones de potencia.
(1) Todas las funciones de potencia se definen en (0, ∞), y la figura Cuando todos los objetos pasan por el punto (1, 1);
(2), la gráfica de la función de potencia pasa por el origen y es una función creciente en el intervalo, en particular, en ese momento, la gráfica de la función de potencia. es convexo hacia abajo; En ese momento, la gráfica de la función de potencia es convexa;
Cuando (3), la gráfica de la función de potencia es una función decreciente en el intervalo, cuando. moviéndose de la derecha al origen, el gráfico Se acerca al semieje positivo del eje infinitamente a la derecha del eje. Cuando se acerca, la imagen se acerca al semieje positivo del eje infinitamente por encima del eje.
Capítulo 3 Aplicación de Funciones
1. Raíces de ecuaciones y ceros de funciones
1. El concepto de ceros de funciones: Para funciones, los números reales que la forman. los verdaderos se llaman ceros de la función.
2. El significado del punto cero de la función: El punto cero de la función es la raíz real de la ecuación, es decir, la abscisa de la intersección de la gráfica de la función y el eje. . Es decir:
La gráfica de la función con raíces reales de la ecuación se cruza con el eje y la función tiene puntos cero.
Cómo encontrar el punto cero de la ecuación. función:
Encontrar el punto cero de la función:
1 (método algebraico) para encontrar las raíces reales de una ecuación
2 (método geométrico) para ecuaciones para las cuales no se puede usar la fórmula para encontrar la raíz, se puede relacionar con la gráfica de la función y usar las propiedades de la función para encontrar los puntos cero.
4. función cuadrática:
Función cuadrática.
1) △gt; 0, La ecuación tiene dos raíces reales desiguales, la gráfica de la función cuadrática tiene dos puntos de intersección con el eje, y la función cuadrática tiene dos puntos cero.
2) △=0, la ecuación tiene dos raíces reales iguales (dos raíces múltiples), la gráfica de la función cuadrática tiene una intersección con el eje y la función cuadrática la función tiene un punto cero doble o un punto cero de segundo orden.
3) △lt; la ecuación no tiene raíces reales, la función cuadrática La gráfica no tiene intersección con el eje y la función cuadrática La función no tiene puntos cero.
Funciones trigonométricas y funciones trigonométricas inversas
Esta es la función trascendental más simple que se origina en la geometría. El método de medición de ángulos en el análisis avanzado es el llamado método en radianes, que mide el ángulo central correspondiente con el segmento de arco en la circunferencia unitaria. Las funciones trigonométricas son senx, cosx y sus derivadas y sus definiciones se muestran en la Figura 1. La expansión de Taylor de senx y cosx en x=0 es (2) (3) Su radio de convergencia es. Las funciones inversas de sinx, cosx, tanx, cotx, secx y cosecx son respectivamente arcsinx, arccosx, arctanx, arccotx, arcsecx, arccosecx (o registradas como sin-1x, cos-1x, tan-1x, cot-1x, sec- 1x, cosec-1x),
Gráficos de funciones elementales
y se denominan funciones trigonométricas inversas. Funciones exponenciales y funciones logarítmicas Supongamos que α es un número positivo, entonces y=αz representa la función exponencial con α como base (Figura 2). Su función inversa y=logαx se llama función logarítmica con α como base (Figura 3). Especialmente cuando α=e, y=ez (o expx) e y=logαx=lnx (o logx) se denominan funciones exponenciales y funciones logarítmicas. Logx se puede definir mediante la siguiente fórmula integral, que representa el área rodeada por la hipérbola, el eje t debajo y las dos líneas rectas t=1 y t=x a la izquierda y a la derecha respectivamente. Se puede ver que cuando x cambia en el eje real positivo, y = logx toma el valor en el eje real y log1 = 0. Es la función creciente de x, la derivada. Además, logx satisface el teorema de la suma, es decir, log(x1·x2)=logx1 logx2.
La función exponencial inversa de la función logarítmica
ex es una función creciente definida en el eje real que toma el valor de un número real positivo, y e0=1. La derivada de ex es igual a sí misma. Además, ex satisface el teorema de la multiplicación, es decir. La expansión de Taylor de ex en x=0 es.
Funciones hiperbólicas y funciones hiperbólicas inversas
Las funciones hiperbólicas se pueden derivar de funciones exponenciales mediante operaciones racionales
Funciones elementales
Números. Sus propiedades son muy similares a las funciones trigonométricas, y están representadas por sinhx, coshx, tanhx, cothx, sechx y cosechx. Sus definiciones son las siguientes: se denominan seno hiperbólico (Figura 4) y coseno hiperbólico (Figura 5) respectivamente. Al igual que las funciones trigonométricas, la tangente hiperbólica (Figura 6) tanhx=sinhx/coshx, la cotangente hiperbólica (Figura 7) cothx=coshx/sinhx, etc. derivadas de ellas se denominan funciones hiperbólicas. Tienen la siguiente interpretación geométrica, es decir, tomar un punto M en la hipérbola x2-y2=1(xgt; 0), y sea O el origen, N=(1, 0), y combinar ON, OM y el arco en la hipérbola El área circundante se registra como θ/2, y las coordenadas del punto M se consideran funciones de θ, y se registran como coshθ y sinhθ, es decir, la expresión (5).
Funciones elementales Funciones elementales Funciones elementales Funciones elementales de variables complejas Funciones elementales cuyo dominio es el dominio de los números complejos.
Funciones racionales, funciones potencia y funciones radicales
La razón de polinomios de dos coeficientes complejos es una función racional, que implementa la aplicación analítica del plano complejo extendido a sí mismo. La función lineal fraccionaria es una función racional especial que tiene una importancia importante en el análisis complejo. Otro caso especial es la función potencia w=zn, n es un número natural,
Función elemental
Es analítica en todo el plano, y. Por lo tanto, cuando n ≥ 2, realiza un mapeo cuadrado (mapeo conforme) en todo el plano excepto z = 0. Cambia la circunferencia 丨z丨 = r en la circunferencia |w|=rn, y cambia el rayo argz=θ en el rayo argw=nθ. En cualquier región, siempre que la diferencia de ángulo entre dos puntos cualesquiera de la región sea menor que 2π/n, es una región de una sola hoja con w=zn. La función inversa de la función potencia w=zn es una función radical, que tiene n valores, (k=0, 1,..., n-1), que se denominan sus ramas. Son univavalmente analíticos en cualquier región θ1z lt; θ1 2π y convierten esta región en una región. Sus derivados lo son.
Funciones exponenciales y funciones logarítmicas
Reemplaza x con una variable compleja z en la ecuación de la función exponencial (4), y obtendrás la función exponencial w=ez de la variable compleja, y, obviamente, Sí (k es un número entero). La función exponencial compleja tiene propiedades similares a la función exponencial real: ez es una función integral y para cualquier número complejo z, ez≠0 satisface el teorema de la multiplicación: ez tiene un período de 2kπi, es decir y su derivada es; Lo mismo que él mismo, eso es. La función w=ez realiza un mapeo en forma de *** en todo el plano. Cualquier región, siempre que la diferencia entre las partes imaginarias de dos puntos cualesquiera en la región sea menor que 2π, es una región de una sola hoja de ez. Por ejemplo, la función exponencial convierte la recta x=x0 en un círculo, la recta y=y0 en el rayo argw=y0, convirtiendo así el área Sk en el área 0w lt, y el área de la franja α0lt con ancho; β; α0 β( β≤2π) se convierte en un dominio angular α0wlt con una apertura de α0 β; La función logarítmica w=Lnz es la función inversa de la función exponencial ez. Tiene valores infinitos 2kπ) (k es un número entero), que se denominan sus ramas. Cada rama es analítica en la región θ0zlt; θ0 2π, y tiene. La función logarítmica convierte esta área en un área en forma de franja θ0w lt; θ0 2π, y también cambia el dominio angular θ0zlt θ0 β (β≤2π) con una abertura de β en un área en forma de franja θ0w lt; β; θ0 β. En particular, (Lnz)0=Lnz es la generalización de la función logarítmica real lnz en el campo complejo. Al igual que la función logarítmica real, satisface el teorema de la suma, es decir, para dos números complejos distintos de cero z1 y z2.