1. Un juguete popular en todo el mundo
En la primavera de 1974, Ernst Rubik tuvo una idea interesante: diseñar una herramienta de enseñanza para ayudar a los estudiantes a comprender intuitivamente. Varias rotaciones en geometría espacial. Lo pensó y decidió hacer un cubo de 3×3×3 compuesto de pequeños cuadrados, cada lado del cual podía rotarse a voluntad. Un cubo de este tipo facilita la demostración de diversas rotaciones espaciales.
Aunque esta idea es buena, en la práctica se enfrenta a un problema espinoso: ¿cómo hacer que todos los lados de un cubo de este tipo giren a voluntad? Rubik probó muchas ideas, como usar imanes o bandas elásticas para conectar cuadrados pequeños, pero fracasó. Una tarde de ese verano, estaba disfrutando del clima fresco junto al río Danubio y, sin darse cuenta, sus ojos se posaron en los guijarros junto al río. De repente, se le ocurrió una nueva idea: tratar la estructura interior del cubo con una superficie redondeada que se parecía a la superficie de un guijarro. La nueva idea tuvo éxito y Rubik rápidamente completó su diseño y solicitó una patente en la Oficina de Patentes de Hungría. Este diseño es el familiar Cubo de Rubik, también llamado Cubo de Rubik.
Seis años después, el Cubo de Rubik (El cubo de Rubik), liderado por un empresario y matemático aficionado húngaro, entró en los mercados de Europa occidental y Estados Unidos y se convirtió en un juguete de moda que arrasó en todo el mundo a un ritmo alarmante. En los siguientes 25 años, las ventas de cubos de Rubik superaron los 300 millones. Entre los jugadores del Cubo de Rubik hay niños que aprenden a hablar y jefes de empresas multinacionales. Aunque el Cubo de Rubik no se convirtió en una herramienta de enseñanza de la geometría espacial como lo imaginaba Rubik, se convirtió en el juguete más vendido de la historia.
La magia del cubo de Rubik más vendido reside en su asombrosa cantidad de combinaciones de colores. Cuando un Cubo de Rubik sale de fábrica, cada cara tiene un color, siendo un total de 6 colores. Pero cuando se mezclan estos colores, el número de combinaciones posibles llega a 432,5 mil millones. Si hiciéramos cada una de estas combinaciones en un cubo de Rubik, los cubos podrían alinearse desde la Tierra hasta las estrellas distantes a 250 años luz de distancia, es decir, si colocáramos una lámpara en una fila de cubos de Rubik desde un extremo del mundo. ¡La luz tarda 250 años en llegar al otro extremo! Si un jugador diligente quisiera probar todas las combinaciones, incluso sin comer, beber o dormir, necesitaría 10 combinaciones diferentes por segundo (a modo de comparación, nuestro universo tiene actualmente menos de 1.400 millones de años). En comparación con esas cifras combinadas, los adjetivos "miles", "cientos de millones" y "miles de millones" comúnmente utilizados por los anunciantes para engañar y engañar a los clientes se han convertido en una rara humildad. Podemos decir con seguridad que incluso si una persona comienza a jugar al Cubo de Rubik de BIGBANG, casi no hay esperanza de restaurar un Cubo de Rubik con colores alterados.
2. El Cubo de Rubik y los "Números Mágicos"
Hay muchos jugadores del Cubo de Rubik y es natural que compitan entre sí. A partir de 1981, los entusiastas del Cubo de Rubik comenzaron a realizar competiciones mundiales del Cubo de Rubik para establecer sus propios récords mundiales. Este registro se actualiza constantemente. En 2013, el récord más rápido para resolver un cubo de Rubik alcanzó la asombrosa cifra de 5,55 segundos. Por supuesto, los registros individuales recuperados están sujetos a una cierta cantidad de posibilidades. Para reducir esta posibilidad, a partir de 2003, el ganador de la competición del Cubo de Rubik se determina por la puntuación media de múltiples recuperaciones. En 2013, el récord mundial de este tiempo medio era de 6,54 segundos. La aparición de estos registros muestra que, aunque hay una cantidad astronómica de combinaciones de colores en el Cubo de Rubik, una vez que dominas el truco, la cantidad de giros necesarios para restaurar cualquier combinación de colores dada probablemente no sea tanta.
Entonces, ¿cuántas vueltas se requieren para garantizar que se restaure sin importar la combinación de colores? Este problema ha despertado el interés de muchas personas, especialmente de los matemáticos.
El número mínimo de rotaciones necesarias para restaurar cualquier combinación es apodado por los matemáticos el "número divino", y el Cubo de Rubik, el favorito del mundo del juguete, ha invadido el mundo académico debido a este "número divino".
Para estudiar los "números divinos", por supuesto, primero debes estudiar el método de reducción del Cubo de Rubik. En el proceso de jugar al Cubo de Rubik, la gente sabe desde hace mucho tiempo que es fácil restaurar cualquier combinación de colores determinada, lo que ha sido demostrado por los excelentes registros de innumerables jugadores. Aunque el método de reducción utilizado por los jugadores del Cubo de Rubik es fácil de dominar para el cerebro humano, no tiene un número mínimo de rotaciones, por lo que no es útil para encontrar el "número mágico". Encontrar el método con el menor número de rotaciones es un rompecabezas matemático. Por supuesto, este problema no es difícil para los matemáticos. Ya a mediados de la década de 1990, la gente tenía algoritmos prácticos que podían encontrar el número mínimo de rotaciones para restaurar una combinación de colores determinada en un promedio de unos 15 minutos. Teóricamente, si alguien pudiera encontrar un número mínimo de círculos para cada combinación de colores, entonces el número más grande sería sin duda el "número mágico". Pero desafortunadamente, el enorme número "432,5 mil millones" se ha convertido en un obstáculo para que la gente se asome al número divino. Si el algoritmo mencionado anteriormente se usa para buscar a la velocidad mencionada anteriormente, incluso si se usan 100 millones de computadoras al mismo tiempo, se necesitarán más de 654,38 millones de años para completarlo.
Parecía que la fuerza bruta no funcionaría, por lo que los matemáticos recurrieron a su antigua profesión: las matemáticas. Desde un punto de vista matemático, aunque las combinaciones de colores del Cubo de Rubik cambian constantemente, en realidad se producen mediante una serie de operaciones básicas, es decir, rotaciones, y esas operaciones también tienen varias características muy simples, por ejemplo, cualquier. La operación tiene una operación opuesta (por ejemplo, la operación opuesta de la rotación en el sentido de las agujas del reloj es la rotación en el sentido contrario a las agujas del reloj). Para este tipo de operaciones, los matemáticos tienen en su arsenal una herramienta muy eficaz. Esta herramienta se llama teoría de grupos y apareció hace más de 140 años, antes del Cubo de Rubik. Se dice que el matemático alemán David Hilbert dijo que la clave para aprender la teoría de grupos es elegir un buen ejemplo. Desde la invención del Cubo de Rubik, los matemáticos han escrito varios libros sobre teoría de grupos utilizando el Cubo de Rubik. Por tanto, aunque el Cubo de Rubik no se ha convertido en una herramienta de enseñanza de la geometría espacial, puede utilizarse hasta cierto punto como un "buen ejemplo" para aprender la teoría de grupos.
Para el estudio del Cubo de Rubik, la teoría de grupos tiene una ventaja muy importante, es decir, puede aprovechar al máximo la simetría del Cubo de Rubik. Cuando mencionamos anteriormente el enorme número "432,5 mil millones", en realidad hubo una omisión, es decir, no consideramos la simetría del Cubo de Rubik como un cubo. Muchas de las 432,5 mil millones de combinaciones de colores son en realidad exactamente iguales, sólo que las miras desde diferentes ángulos, por ejemplo, con diferentes lados hacia arriba o a través de un espejo. Por lo tanto, la abrumadora cifra "432,5 mil millones" es en realidad "carne de cerdo mezclada con agua". Entonces, ¿qué porcentaje de "agua" hay en esta "carne de cerdo"? Déjame decirte que para asustar a todos: ¡representa casi el 99%! En otras palabras, los matemáticos pudieron reducir las combinaciones de colores del Cubo de Rubik en dos órdenes de magnitud simplemente mediante la simetría.
Pero reducirlo en dos órdenes de magnitud aún está lejos de ser suficiente para encontrar el "número divino", porque eso no es más que reducir el tiempo mencionado anteriormente de 654,38 millones de años a 654,38 millones de años. Obviamente, 654,38 millones de años es demasiado tiempo para resolver un problema matemático, y no esperamos que nadie utilice 100 millones de computadoras para calcular el número de dioses. Los matemáticos, aunque inteligentes, no son necesariamente ricos en otros aspectos. Quizás lo único que realmente puedan usar es la computadora en su escritorio. Por lo tanto, para encontrar el "número mágico", la gente necesita ideas más ingeniosas. Afortunadamente, el poder de las herramientas de la teoría de grupos va mucho más allá de analizar algo tan obvio como la simetría de un cubo. Con su ayuda pronto surgieron ideas más ingeniosas.
3. Buscando el "Número de Dios"
En 1992, el matemático alemán H. Kochiemba propuso una nueva idea para encontrar una manera de restaurar el Cubo de Rubik. Descubrió que en el patrón de rotación básico del Cubo de Rubik, hay una parte que puede formar su propia serie, y que se pueden formar casi 20 mil millones de combinaciones de colores a través de esta parte de la rotación. Utilizando estos 20 mil millones de combinaciones de colores, Ke Xianba descompuso la reducción del Cubo de Rubik en dos pasos: el primer paso es convertir cualquier combinación de colores en una de los 20 mil millones de combinaciones de colores, y el segundo paso es restaurar los 20 mil millones de combinaciones de colores. Combinaciones de colores.
Si se compara la recuperación del Cubo de Rubik con un barco que navega hacia un destino fijo en el vasto océano, entonces los 20 mil millones de combinaciones de colores propuestas por Ke Xianba son como un área de agua especial: un área de agua especial 20 mil millones de veces más grande que la fija. destino. Los dos pasos que propuso son como dejar que el barco navegue primero hasta esa zona de agua especial y luego navegue desde allí hasta el destino fijo. Obviamente, es mucho más fácil encontrar una enorme zona de agua especial en el vasto océano que encontrar ese pequeño destino directamente. Éste es también el ingenio de la nueva idea de Coshanba.
Aun así, con las nuevas ideas de Ke Xianba, no es fácil estimar el “número divino”. Especialmente para cálculos rápidos, lo mejor es almacenar en la memoria del ordenador el número mínimo de rotaciones necesarias para recuperar 20 mil millones de combinaciones de colores (lo que equivale a un "mapa" de esa masa de agua en particular), lo que requeriría aproximadamente 300 megabytes de memoria. 300 billones no es una cifra grande hoy en día, pero en la era en que Koshanba propuso nuevas ideas, las computadoras comunes tenían mucho menos de una décima parte de su memoria. Por lo tanto, no fue hasta tres años después que alguien utilizó las nuevas ideas de Ke Xianba para dar los primeros resultados de estimación. Su nombre es Michael Reed, matemático de la Universidad de Florida Central. En 1995, Reid calculó que cualquier combinación de colores del Cubo de Rubik, después de hasta 12 rotaciones, puede transformarse en una de los 20 mil millones de combinaciones de colores de las nuevas ideas de Koshenba. Después de hasta 18 giros, se puede restaurar cualquiera de los 20 mil millones de combinaciones de colores. Esto significa que cualquier combinación de colores del Cubo de Rubik se puede restaurar girándolo hasta 12 18 = 30 veces.
Después de obtener los resultados anteriores, Reed rápidamente mejoró su estimación y redujo los resultados de 30 a 29, lo que demuestra que el número de "dioses" no excederá los 29. Desde entonces, con el desarrollo de la tecnología informática, los matemáticos han mejorado aún más los resultados de Reid, pero el progreso no ha sido rápido. No fue hasta 11 años después, en 2006, que Silvanus Radu, estudiante de doctorado en el Instituto de Computación Simbólica de la Universidad Johannes Kepler en Austria, elevó este resultado a 27. Al año siguiente (2007), los científicos informáticos Dan Kunkle y Gene Cooper de la Universidad Northeastern elevaron este resultado a 26. Su trabajo utilizó un sistema informático paralelo, utilizó hasta 7 millones de terabytes de espacio de almacenamiento y consumió 8.000 horas de tiempo informático (equivalente a casi un año de informática ininterrumpida las 24 horas).
Estos cálculos demuestran que el “número divino” no puede exceder de 26. Sin embargo, la mayor ventaja de todos estos cálculos - es decir, el uso de aguas especiales en el nuevo pensamiento de Koshenba - es también su debilidad más fatal, porque los métodos de reparación que sugieren deben pasar a través de esa agua especial. Pero en realidad, las mejores soluciones para muchas combinaciones de colores no viajan en absoluto a través de esa masa de agua en particular. Por ejemplo, cualquier barco que esté cerca de su destino pero que no esté en aguas especiales obviamente no necesita evitar deliberadamente aguas especiales antes de dirigirse a su destino, como es el caso de los vuelos chárter directos entre China continental y la provincia de Taiwán. Por lo tanto, el método de restauración obtenido utilizando las nuevas ideas de Kochenba puede no ser el mejor y es muy probable que también se sobreestime la estimación del "número divino".
Sin embargo, ¿qué pasa si no introducimos las aguas especiales en la nueva idea de la presa Keshan y la cantidad de cálculo es demasiado grande? Los matemáticos decidieron llegar a un compromiso: ampliar el "área" de esa masa de agua especial. Porque cuanto mayor sea el área del área de agua especial, mayor será la posibilidad de que pase el camino de recuperación óptimo (por supuesto, la cantidad de cálculo también aumentará en consecuencia). En 2008, Rokic, un experto en informática que había estudiado los "números divinos" durante 15 años, utilizó un método ingenioso que equivalía a expandir miles de veces las aguas especiales en los nuevos pensamientos de Cosamba, y resolvió el problema de los "números mágicos" en solo En unos meses, "God Number" lanzó cuatro ataques violentos, reduciendo su estimación de 25 a 22, que es en lo que está trabajando la persona mencionada al principio de este artículo. Los cálculos de Rokic cuentan con el respaldo de Sony Pictures Imageworks, una productora de efectos especiales cinematográficos que ha producido efectos especiales para películas famosas como "Spider-Man" y ha proporcionado a Rokic el equivalente a 50 años de recursos informáticos informáticos ininterrumpidos.
De esto sabemos además que el “número de dioses” no debe exceder de 22.
Sin embargo, aunque Rokic ha ampliado enormemente las aguas especiales en las nuevas ideas de Keshenba, todavía existen algunas mejores formas de restaurar las combinaciones de colores sin pasar por esas aguas especiales. Entonces el "número divino" probablemente sea menor que 22. Entonces, ¿cuánto? Hay varios indicios de que es probable que sean 20. Esto se debe a que en todos los esfuerzos de las personas a lo largo de los años, nunca han encontrado ninguna combinación de colores que deba pasar por más de 20 vueltas para restaurarse, incluidas alrededor de 4000 billones de combinaciones de colores calculadas directamente por Rokic. Se puede ver que el número de "dioses". " es muy grande. Puede que no haya más de 20; por otro lado, la gente ha encontrado decenas de miles de combinaciones de colores, que deben restaurarse después de 20 turnos. Se puede ver que el "número mágico" no puede ser menor que 20. Combinando estos dos aspectos, los matemáticos generalmente creen que el verdadero valor del "número divino" es 20.
En agosto de 2010, finalmente salió a la luz el misterioso "número divino" entrelazado con este juego y las matemáticas: el "veterano" Ke Xianba y el "novato" Rokic que estudiaban los "números divinos", así como Otros Dos colaboradores, Molly Davidson y John Dietrich, han desvelado su idea de un "número mágico", cuya prueba proporcionada por Google equivale a 35 años de informática ininterrumpida con los procesadores de cuatro núcleos de Intel necesarios.
Así que ahora podemos utilizar la certeza única de las matemáticas para declarar el valor del "Número de Dios", que es: 20.