Capacitación en clase 9 Explicación de la monotonicidad de las funciones Este examen tiene una puntuación total de 100 puntos y el tiempo de examen es de 90 minutos 1. Preguntas de opción múltiple (6 puntos por cada pregunta, ***42. puntos) 1. Entre las siguientes funciones, en La función creciente en el intervalo (0, 2) es ( ) A.y=-x 1 B.y= C.y=x2-4x 5 D.y= Respuesta: B Análisis: A, C y D todas las funciones son funciones decrecientes en (0, 2) .2. Supongamos que la función f(x) es una función decreciente en (-∞, ∞), entonces las siguientes desigualdades son correctas: ( ) A.f(2a)lt(; a) B.f(a2)lt; f(a)C.f (a2 a)lt; f(a) D.f(a2 1)lt; f(a) Respuesta: D Análisis: ∵a2 1-a=(a- )2 gt; 0, ∴a2 1gt; a. y f( x) disminuye en R, por lo que f(a2 1)lt; o sea a=0, excluya A, B y C, y elija D. 3. La función y=(2k 1)x b en (-∞ , ∞) es una función decreciente, entonces ( ) A.kgt; ; 0 klt; - .4. Función f(x)= Es una función creciente en el intervalo (-2, ∞), entonces el rango de valores del número real a es ( ) A.0lt; ; -1 o agt; [Fuente: Red del sujeto] C.agt; D. agt; -2 Respuesta: Análisis C: ∵f(x)=a aumenta en (-2, ∞), ∴1-2alt; es decir, agt .5 (2010 Sichuan Chengdu Yimo, 4) Se sabe que f (x) es una función creciente en R. Si F(x)=f(1-x)-f(1 x), entonces F( x) es una función creciente en R. ( ) A. Función creciente B. Función decreciente C .Una función que primero disminuye y luego aumenta D. Una función que primero aumenta y luego disminuye Respuesta: B Análisis: Tome f(x)= x, entonces F(x)=(1-x)-(1 x)=-2x es una función decreciente, elija B.6. Se sabe que f(x) es una función impar definida en (-∞, ∞. ), y f(x) es una función decreciente en [0, ∞), entonces la correcta de las siguientes relaciones es ( ) A.f(5)gt f(-5) B.f(4)gt; C.f(-2)gt; f(2) D.f(-8)lt; f(8) Respuesta: Análisis C: ∵f(x) es una función impar, ∴f(0)=0, ∴f(2) lt; f (0) = 0, f (-2) = -f (2) gt; 0, es decir, f (- 2) gt (2).7 (Examen nacional de ingreso a la universidad 2010, 5). Las siguientes funciones: (1) y=x2;? (2) y= ;? (3) y=2x; (4) y= log2x. Entre ellas, se encuentran ( ) A. 0 B. 1 C. 2 funciones. que no son funciones pares y no son funciones decrecientes en el intervalo (0, ∞)
D. 3 respuestas: D Análisis: (1) es una función par, (2) (3) (4) no son funciones pares y aumentan en (0, ∞), por lo que se cumplen las condiciones 2. Complete los espacios en blanco. (cada pregunta pequeña 5 puntos, ***15 puntos) 8. El intervalo decreciente de la función y= es ____________________ Respuesta: [2, ∞] Análisis: y=( )t disminuye monótonamente, t=x2-4x 5 in. [2, ∞ ), y el intervalo decreciente de ∴ es [2, ∞).9. Si la función f(x) es una función creciente definida en (0, ∞), entonces la desigualdad f(x)gt; (8x-16) El conjunto solución es _______________ Respuesta: (2, ) Análisis: 10. La función conocida f(x) satisface: para cualquier número real x1, x2, cuando x1lt x2, f(x1)gt;f. (x2), y f(x1 x2)=f(x1)f(x2), entonces f(x)=_____________ (escriba una función que cumpla estas condiciones Respuesta: ax(0lt; alt; 1) Análisis: f (x) disminuye en R, y el modelo de función de f(x1 13 puntos para 14 preguntas, ***43 puntos) 11. Supongamos que la función f(x)=x (agt; 0) Encuentra la monótona. intervalo de la función en (0, ∞) y pruébelo (2) Si la función f(x) aumenta en [a-2, ∞], encuentre el rango de valores de a. f(x) en (0, ∞) es [, ∞], menos El intervalo es (0, ). Demuestre: ∵f′(x)=1-, cuando x∈[, ∞], ∴f′(x). )gt; 0, cuando x∈(0, ), f′( x)lt 0. Es decir, f(x) aumenta monótonamente en [ ∞ ] y disminuye monótonamente en (0, ). probar) (2) [a-2, ∞] es [ , ∞] subintervalo, por lo que a-2 ≥ a- -2≥0 (1)( -2)≥0 -2≥0 a≥4.12 (2010 Hubei. Simulación de la escuela secundaria Huanggang, 19) El dominio de definición conocido es [0, 1] La función f (x) satisface al mismo tiempo: [Fuente: Red de sujetos Z x2≥0, x1 x2≤1, [Fuente: Xue#科#网] entonces f(x1 x2)≥f(x1) f(x2).(1) Encuentre el valor de f(0); (2) Encuentre el valor máximo de f(x). condición ③, sea x1=x2=0, obtenemos f(0)≤0, y de la condición ①, sabemos que f(0)≥0, entonces f(0)=0 .(2) Supongamos 0≤x1lt; -f(x1)=f(x2-x1) f(x1)-f(x1)=f(x2-x1)≥0 Es decir, f(x2)≥f(x1), entonces f(x) es en [0, 1] aumenta monótonamente, por lo que el valor máximo de f(x) es f(1)=1.13. La función impar f(x) definida en R es [-a, -b] (agt; bgt; 0) arriba es una función decreciente y f(-b)gt; 0, juzgue la monotonicidad de F(x) = [f(x)]2 en [b, a] y demuestre su conclusión: Sea b≤x1lt. ; x2≤a, entonces -b≥-x1gt; -x2≥-a.∵f(x) es una función decreciente en [-a,-b], ∴0lt; lt ;f(-x2)≤f(-a), ∵f(x) es una función impar, ∴0lt; -f(x1)lt -f(x2), entonces f(x2)lt; )lt ;0, [f(x1)]2lt; [f(x2)]2, es decir, F(x1)lt; F(x2).∴F(x) es una función creciente en [b, a] 14. Ya sabemos que el dominio de la función f(x)=(-1)2 (-1)2 es [m, n) y 1≤m.
lt; n≤2. (1) Discuta la monotonicidad de la función f(x); (2) Demuestre: Para cualquier x1, x2∈[m, n], la desigualdad?|f(x1)-f(x2) | lt ; 1 siempre está establecido. (1) Análisis: Solución 1: ∵f(x)=( -1)2 ?( -1)2= 2, ∴f′(x)= ·(x4-m2n2-m x3 m2nx) = (x2-mx mn)(x )(x- ).∵1≤m≤xlt; n≤2, ∴ gt 0, x2-mx mn=x(x-m) mngt; . Sea f′(x)=0, obtenemos f′(x)gt; 0.∴f(x) es una función decreciente dentro de [m, ] y una función creciente dentro de [, n). la pregunta, podemos obtener f(x) = (-1 ) 2- 1. Sea t= .∵1≤mlt n≤2, y x∈[m,n], ∴t= ≥2, gt; . Sea t′= =0, obtenemos x= .cuando x ∈ [m, ], t′lt 0 cuando x∈( , n), t′gt; m, ] y una función creciente dentro de [ , n]. ∵ La función y=(t-1)2- 1 es una función creciente en [1, ∞], ∴ la función f(x) es una función decreciente en [m, ], y una función creciente en [, n]. ( 2) Prueba: Se puede ver en (1) que el valor mínimo de f(x) en [m, n] es f( )=2( -1) 2, y el valor máximo es f(m)=( -1)2 Para cualquier x1, x2∈[m, n], |f(x1)-f(x2)|≤( -1)2-2(. -1) 2=( )2-4· 4 -1. Sea u= , h(u)=u4-4u2 4u-1.∵1≤mlt; n≤2, ∴1lt; ; u≤ .∵h′(u)=4u3-8u 4=4(u- 1)(u- )(u )gt 0, ∴h(u) es una función creciente en (1, ∴h). (u)≤h( )=4-8 4 -1=4 -5lt; 1 .∴La desigualdad |f(x1)-f(x2)|1 siempre es cierta.