F (x) = ln [(e x)+a] es una función impar.
Entonces f(0)=0.
Entonces a=0
Entonces f(x) = X.
Entonces g(x)=λx+senx.
Entonces g'(x)=λ+cosx.
Porque g(x) es una función decreciente en el intervalo [-1, 1].
Entonces g'(x) es una constante ≤ 0 en el intervalo [-1, 1].
Entonces cosx está en el intervalo [-1, 1], cosx≤1.
Entonces λ≤1
(2)
Porque g (x) ≤ t 2+λ t+1 en x ∈ [-1, 1] es una constante, λ ∈ A.
Entonces el valor máximo de t 2+λ t+1 es ≥ g (x).
Porque g(x) es una función decreciente en el intervalo [-1, 1].
Entonces g(x)max = g(-1)=-λ-sin 1.
Por lo tanto, t 2+λ t+1 ≥-λ-sin1 se cumple para λ ∈ A.
Entonces (t+1)λ≥t ^ 2-1-sen 1.
①t+1≤0, entonces (t+1)λ≥0 >-T2-1-sin 1 se cumple.
②Si t+1 > 0, λ≥(-T2-1-sen 1)/(t+1).
so-1≥(-T2-1-sen 1)/(T+1)
Entonces t 2-t+sen1 ≤ 0.
Porque T2-t+sen 1 =(t-1/2)2+sen 1-1/4 > 0.
Así que no hay solución.
Resumiendo, t≤-1.
(3)
lnx=f(x)[(x^2)-2ex+m]
Porque f(x)=x p>
Entonces lnx/x = (x 2)-2ex+m = (x-e) 2+m-e 2.
Supongamos h(x) =lnx/x
h'(x)=(1-lnx)/x^2
Entonces h(x) Aumenta en (0, e) y disminuye en (e, +∞).
Cuando x = e, H(x) obtiene el valor máximo 1/e.
Y porque (x 2)-2ex+m = (x-e) 2+m-e 2 obtiene el valor mínimo m-e 2 cuando x = e.
Entonces no hay solución cuando m > e 2+1/e.
Existe solución cuando m = e 2+1/e.
Hay dos soluciones cuando m < e 2+1/e.