Análisis de la enseñanza
La investigación en esta lección es la continuación y expansión del aprendizaje de las desigualdades en las escuelas secundarias, y también es el desarrollo posterior de la teoría de números reales. En el transcurso de esta lección, los estudiantes recordarán la teoría básica de los números reales y compararán la magnitud de dos expresiones algebraicas con la teoría básica de los números reales.
A través del estudio de este curso, los estudiantes pueden sentir que existe una gran cantidad de relaciones de desigualdad en el mundo real y la vida diaria a partir de una serie de situaciones problemáticas específicas, y comprender completamente la existencia y aplicación de la desigualdad. relaciones. Observe, resuma y abstraiga materiales relevantes sobre relaciones de desigualdad desde una perspectiva matemática y complete el proceso de comparación entre cantidades. Es decir, estas relaciones de desigualdad pueden expresarse mediante desigualdades o grupos de desigualdades.
Durante el proceso de aprendizaje de esta lección, se organizan algunas preguntas sencillas, que son fáciles de resolver para los estudiantes. El propósito es hacer que los estudiantes presten atención a la aplicación de conocimientos y métodos matemáticos y, al mismo tiempo, estimular el interés de los estudiantes en aprender y desarrollar sinceramente el deseo de utilizar herramientas matemáticas para estudiar las desigualdades. De acuerdo con el contenido didáctico de esta lección, se puede reproducir y recordar la teoría básica de los números reales, y se puede comparar la magnitud de dos expresiones algebraicas con la teoría básica de los números reales.
En este tipo de enseñanza, los profesores pueden permitir que los estudiantes lean los ejemplos del libro, aprovechen al máximo la sencilla herramienta de combinar formas numéricas y utilicen directamente la correspondencia uno a uno entre números reales y puntos en el eje numérico para aprender de las formas numéricas. Establecer la relación de secuencia de números reales en dos aspectos. Es necesario mejorar la comprensión de las desigualdades por parte de los estudiantes a partir de la revisión de las antiguas.
Objetivos tridimensionales
1. Bajo el contexto real de la comprensión de las desigualdades por parte de los estudiantes, utilice la teoría básica de recordar números reales en el eje numérico para comprender la relación entre el tamaño. de números reales y la posición de los puntos correspondientes en el eje numérico.
2. El método de diferencia se utilizará para juzgar el tamaño de números reales y expresiones algebraicas, y el método de coincidencia se utilizará para juzgar el tamaño y el rango de expresiones cuadráticas.
3. Mejorar la comprensión de las desigualdades por parte de los estudiantes, estimular su interés en aprender, aprender cosas nuevas revisando el pasado y experimentar el misterio y la belleza estructural de las matemáticas.
Puntos clave y dificultades
Enfoque de enseñanza: Comparar la relación entre números reales y expresiones algebraicas, y determinar el tamaño y rango de expresiones cuadráticas.
Dificultad en la enseñanza: Comparar con precisión la magnitud de dos expresiones algebraicas.
Disposición de la clase
1 periodo de clase
Proceso de enseñanza
Introducción de un nuevo curso
Idea 1. (Introducción de la imagen del capítulo) ¿Atraer a los estudiantes a través de presentaciones multimedia de satélites, naves espaciales y una imagen espectacular de cadenas montañosas superpuestas? Mirando los picos al otro lado de la cresta, ¿son diferentes las distancias? En la vasta naturaleza y el universo, y en situaciones específicas, los estudiantes sienten que hay una gran cantidad de relaciones desiguales en el mundo real y en la vida diaria y, por lo tanto, desarrollan un fuerte deseo de utilizar las matemáticas para estudiar las relaciones desiguales, lo que naturalmente conduce a la introducción de nuevos cursos.
Idea 2. (Introducción situacional) Enumere ejemplos con los que los estudiantes están familiarizados en la vida real, como la altura, el peso, la distancia desde la escuela, el tiempo de la carrera de 100 metros, la puntuación en matemáticas y use la cantidad para describir la relación desigual de algunas cosas objetivas. ¿Cómo se pueden expresar matemáticamente estas desigualdades? Deje que los estudiantes se asocien libremente y los maestros organicen materiales relevantes sobre relaciones desiguales, permitiendo a los estudiantes observarlos y resumirlos desde una perspectiva matemática, permitiéndoles sentir que las relaciones desiguales, como las relaciones iguales, existen en grandes cantidades en el mundo real y en la vida diaria. De esta manera, los estudiantes tendrán un sincero deseo de utilizar herramientas matemáticas para estudiar relaciones desiguales y así profundizar en el aprendizaje mediante investigación e introducir nuevas lecciones.
Avanzar en nuevos cursos
Explorar nuevos conocimientos
¿Hacer preguntas
? 1. ¿Recordar las desigualdades aprendidas en la escuela secundaria y dejar que los estudiantes las digan? ¿Relación desigual? ¿Qué usar? ¿Desigual? ¿Cómo utilizar las desigualdades para estudiar y expresar desigualdades?
? 2? En el mundo real y en la vida diaria, existen tanto relaciones iguales como una gran cantidad de relaciones desiguales.
¿Puedes dar algunos ejemplos prácticos?
? 3? ¿Cuál es la relación entre dos puntos cualesquiera en el eje numérico y los dos números reales correspondientes?
? 4? ¿Cuál es la relación entre dos números reales cualesquiera? ¿Cómo se puede expresar esta relación en términos lógicos?
Actividad: El docente guía a los estudiantes a recordar el concepto de desigualdad aprendido en la escuela secundaria, para que los estudiantes puedan aclararlo. ¿Relación desigual? ¿Qué usar? ¿Desigual? Similitudes y diferencias. Las relaciones desiguales enfatizan las relaciones. ¿Se pueden utilizar símbolos? gt lt representa, y la desigualdad representa la relación desigual entre los dos, ¿disponible? a gtBachelor of Arts
Los profesores y estudiantes pueden dar ejemplos de desigualdad en la vida diaria, lo que permite a los estudiantes cooperar y discutir plenamente, y hacer que los estudiantes sientan que hay mucha desigualdad en el mundo real. Los estudiantes pueden estudiar más a fondo el contenido relacionado de las desigualdades con la premisa de comprender los antecedentes reales de ciertas desigualdades.
Ejemplo 1: La previsión meteorológica para un día determinado predice una temperatura máxima de 32℃ y una temperatura mínima de 26℃.
Ejemplo 2: Para dos puntos diferentes A y B en el eje numérico, si el punto A está a la izquierda del punto B, entonces xA
Ejemplo 3: Si un número está no negativo, entonces es mayor o igual a cero.
Ejemplo 4: El segmento de recta más corto entre dos puntos.
Ejemplo 5: La suma de los dos lados de un triángulo es mayor que el tercer lado, y la diferencia entre los dos lados es menor que el tercer lado.
Ejemplo 6: Una señal de tráfico con un límite de velocidad de 40 km/h indica que los conductores deben mantener la velocidad v por debajo de 40 km/h cuando circulan por la carretera.
Ejemplo 7: La inspección de calidad de una determinada marca de yogur estipula que el contenido de grasa en el yogur no debe ser inferior a 2,5 y el contenido de proteínas no debe ser inferior a 2,3.
El profesor señaló además: Ciertamente es bueno descubrir las matemáticas a nuestro alrededor, lo que demuestra que los estudiantes han entrado en la materia de matemáticas, pero mientras aprendemos matemáticas, podemos utilizar perspectivas y puntos de vista matemáticos para observar. , resumir y abstraer estas Cantidades, esto es lo que debemos hacer todos los que estudiamos matemáticas. Entonces, ¿qué conocimiento podemos utilizar para expresar estas relaciones desiguales? Los estudiantes pueden pensar fácilmente en usar desigualdades o grupos de desigualdades para expresar estas relaciones desiguales. Entonces, una desigualdad es una fórmula que conecta dos expresiones algebraicas con símbolos desiguales, como -7
El maestro indica a los estudiantes que usen desigualdades para expresar los siete ejemplos anteriores. Ejemplo 1, si se usa T para representar la temperatura en un día determinado, ¿entonces 26 ℃? t? 32 ℃. Ejemplo 3, si X representa un número no negativo, ¿entonces X? 0. Ejemplo 5, |AC| |BC| >|AB|, como se muestra a continuación.
|AB| |BC| >|AC|, |AC| |BC| >|AB|, |AC|
| AB |-| antes de Cristo |-| También puedes intercambiar las posiciones del minuendo y el minuendo.
Ejemplo 6, si la velocidad está representada por V, ¿entonces V? 40 km/h Ejemplo 7, F? 2.5p? 2.3. Para el ejemplo 7, el maestro debe indicar a los estudiantes que presten atención al hecho de que el contenido de grasa y de proteína en el yogur deben satisfacerse al mismo tiempo y evitar escribir F? 2,5 op? 2.3, esto está mal. ¿Pero se puede expresar como f? 2.5 yp? 2.3.
El profesor pidió a los alumnos que respondieran por turnos las preguntas anteriores y luego utilizó un proyector para dar dos conclusiones del libro de texto.
Resultados de la discusión:
(1)(2) omitido; (3) Para dos puntos cualesquiera en el eje numérico, el número real correspondiente al punto derecho es mayor que el real. número correspondiente al punto izquierdo.
(4) Para dos números reales cualesquiera a y b, cuando a=b, a >; a gtb;a-b=0? a = b; a-b lt; 0?a
Ejemplos de aplicación
Ejemplo 1 (Ejemplos 1 y 2 en esta sección del libro de texto)
Actividad: Hacer estudiantes familiarizados con los métodos básicos para comparar la magnitud de dos expresiones algebraicas: diferencias y colocaciones.
Comentarios: Hay dos ejemplos en esta sección que se resuelven usando el método de factorización y el método de colocación aplicado. Estos dos métodos se usan a menudo en transformaciones algebraicas y los estudiantes deben dominarlos.
Entrenamiento de variantes
1. Si f(x)=3x2-x 1, g(x)=2x2 x-1, entonces f(x) y g(x) la relación es ().
A.f(x)>g(x) B.f(x)=g(x)
Costo más flete
Respuesta: Respuesta
Análisis: f(x)-g(x)= x2-2x 2 =(x-1)2 1?1 gt 0,?f(x)>g(x).
2. ¿Conocido x? 0, compara los tamaños de (x2 1)2 y x4 x2 1.
Solución: de(x2 1)2-(x4 x2 1)= x4 2 x2 1-x4-x2-1 = x2.
∵x? 0, x2 gt0. Por lo tanto (x2 1)2 > x4 x2 1.
Ejemplo 2 Compara los tamaños de los siguientes grupos (A? b).
(1)a b2 y 21A 1B (A >: 0, b gt0
(2) a4-b4 y 4a3(a-b);
Actividad: La comparación del tamaño de dos números reales a menudo se determina juzgando el signo de su diferencia en función de la relación entre las propiedades operativas de los números reales y su orden de tamaño. Los estudiantes pueden completar este ejemplo de forma independiente, pero se debe guiar a los estudiantes para que tengan razones suficientes en el juicio y razonamiento simbólico final y no se puede ignorar.
Solución: (1)A B2-21A 1B = A B2-2 ABA B =? ¿a b? 2-4ab2? ¿a b? =?a-b? 22?ab? .
∵a gt;0, b gt0 y a? b,? a b gt; 0, (a-b)2 gt; 0.a-b? 22?ab? gt0, es decir, un B2 gt;
(2)a4-B4-4a 3(a-b)=(a-b)(a b)(a2 B2)-4a 3(a-b)
=(a-b)(a3 a2 b ab2 B3-4a 3)=(a-b)[(a2 b-a3) (ab2-a3) (B3-a3)]
=-(a-b)2(3 a2 2 ab B2)= -(a-b)2[2 a2 (a b)2].
∫2 a2 (a b)2? 0 (tomar el signo igual si y sólo si a=b=0),
¿Es a otra vez? b,? (a-b)2 >0, 2 a2 (a b)2 gt; -(a-b)2[2 a2 (a b)2] lt; 0.
? a4-B4lt;4a3(a-b).
Comentarios: La comparación de tamaños se utiliza a menudo como método de diferencia. El paso general es hacer un símbolo de juicio de deformación diferente. Los medios comunes de deformación son los factores y fórmulas de descomposición. ¿Qué pasa con los primeros? ¿pobreza? ¿convertirse en? ¿producto? ¿Esto último servirá? ¿pobreza? Conviértete en uno o más caminos completamente lisos. Entonces qué. , o ambos.
Entrenamiento de variantes
Dados x gty e y 0, compara los tamaños de xy y 1.
Actividad: Compara la relación de magnitud entre dos números o expresiones cualesquiera, simplemente determina la relación de magnitud entre su diferencia y 0.
Solución: xy-1=x-yy.
∵x gt;y,? x-y gt; 0.
Cuando y < 0, x-YY
Cuando y gt0, x-YY gt; es decir, xy-1 > 0.? xy gt1.
Comentarios: Cuando la letra Y toma valores diferentes, la diferencia xy-1 es diferente, por lo que es necesario discutir la clasificación Y.
Según el diseño arquitectónico, el área de las ventanas de los edificios residenciales debe ser menor que el área del edificio. Sin embargo, según los estándares de iluminación, la proporción entre el área de las ventanas y el área del edificio no debe ser inferior a 10. Cuanto mayor sea la proporción, mejores serán las condiciones de iluminación de la residencia.
Pregunta: Cuando el área de ventanas y el área del edificio aumentan al mismo tiempo, ¿mejorarán o empeorarán las condiciones de iluminación de los edificios residenciales? Por favor explique por qué.
Actividad: La clave para resolver el problema es convertir primero el lenguaje literal a lenguaje matemático y luego compararlo antes y después, utilizando el método de diferencia.
Solución: suponga que el área de la ventana y el área del edificio de la residencia son A y B respectivamente, y el área aumentada es M, de acuerdo con los requisitos de la pregunta A.
¿Porque a mb m-ab=m? ¿licenciado en Letras? ¿b? ¿bm? gt0, entonces a m b m gt; ¿AB otra vez? 10,
Entonces a m b m gt ab? 10.
Entonces, después de aumentar el área de la ventana y el área del piso al mismo tiempo, las condiciones de iluminación de la casa mejoran.
Comentarios: En términos generales, si A y B son números reales positivos y a0, entonces A M b M > ab.
Entrenamiento de variantes
¿Conocido a1, a2,? Para una serie geométrica donde todo es mayor que cero, ¿cuál es la razón común Q? 1, entonces ()
a 1 A8 gt; a4 a5 B.a1 a8
C.a1 A8 = a4 a5D. Los tamaños A1 A8 y A4 A5 son inciertos.
Respuesta: Respuesta
Análisis: (a 1 A8)-(A4 A5)= a 1 a 1q 7-a 1q 3-a 1q 4
= a 1[(1-Q3)-Q4(1-Q3)]= a 1(1-q)2(1 q Q2)(1 q)(1 Q2).
∫{ an }Todo es mayor que cero. q gt0, es decir, 1 q gt; 0.
¿Es q otra vez? 1, ?(a1 a8)-(a4 a5)>0, es decir, a 1 A8 gt;
Entrenamiento de conocimientos y habilidades
1. Las siguientes desigualdades: 1 a2 3 >; 2a; 2xy. El número de desigualdades que siempre son verdaderas es ().
A.3 B.2 C.1 D.0
2 Compara los tamaños de 2x2 5x 9 y x2 5x 6.
Respuesta:
Análisis de 1. c: ∫2 a2 B2-2(A-B-1)=(A-1)2 (B 1)2?0,
③x2 y2-2xy=(x-y)2?0.
? Sólo ① aguanta para siempre.
2. Porque 2 x2 5x 9-(x2 5x 6)= x2 3 gt 0,
Entonces 2 x2 5x 9 gt;
Resumen del curso
1. Profesores y estudiantes completan juntos el resumen de esta lección, desde el repaso de las propiedades básicas de los números reales hasta el método de comparar los tamaños de dos números reales. ; a partir de la investigación de actividades y comentarios de ejemplos En la capacitación variante posterior, los estudiantes pueden simplificar el complejo y conectarlo con conocimientos antiguos, e incorporar el contenido aprendido en esta lección al sistema de conocimientos existente.
2. El profesor añadió el toque final señalando los errores que son fáciles de cometer al utilizar las propiedades básicas de los números reales para comparar los tamaños de dos números reales, y animó a los estudiantes que tienen la energía para hacerlo. hacer más exploración en el pensamiento y la discusión después de clase.
Tarea
¿Ejercicio 3? 1A Grupo 3; ¿Ejercicio 1B Grupo 2?
Impresión del diseño
1. El diseño de esta sección se centra en la optimización de los métodos de enseñanza. La experiencia nos dice que el proceso de enseñanza que mejor encarna las reglas de enseñanza debe seleccionarse y diseñarse en el aula de acuerdo con la situación específica. No es adecuado utilizar métodos de enseñanza fijos durante mucho tiempo o copiar un modelo experimental sin cambios. No todos los métodos de enseñanza se adaptan bien a todas las actividades docentes. En otras palabras, no existe un método de enseñanza universal en el mundo. Flexible y cambiante según la personalidad.
2. El diseño de esta sección se centra en el control de la dificultad. Las desigualdades tienen una amplia gama de aplicaciones y se puede decir que se cruzan con todo lo demás. Siempre ha sido el foco y el punto caliente del examen de ingreso a la universidad a lo largo de los años.
Como comienzo de este capítulo, se puede ampliar adecuadamente y considerarlo como una plataforma para que los estudiantes exploren libremente la comunidad, pero no se debe ampliar demasiado para evitar impactos negativos en los estudiantes.
3. El diseño de esta parte se centra en el entrenamiento de la capacidad de pensamiento de los estudiantes. Cultivar la capacidad de pensamiento de los estudiantes y mejorar su calidad de pensamiento es un tema importante que enfrentan directamente los profesores de matemáticas, y también es la línea principal de la educación matemática de la escuela secundaria. Una pregunta tiene múltiples soluciones, lo que ayuda a la divergencia y flexibilidad del pensamiento y supera la rigidez del pensamiento. La enseñanza del entrenamiento variado puede ampliar los horizontes de pensamiento de los estudiantes, y la reflexión después de resolver problemas puede ayudar a mejorar la calidad del pensamiento crítico de los estudiantes.
Materiales de preparación de la lección
Ejercicios para aficionados
1. Compara los tamaños de (x-3)2 y (x-2)(x-4).
2. Intenta juzgar la magnitud de los siguientes pares de expresiones algebraicas: (1) m2-2m 5 y -2m 5; (2) a2-4a 3 y -4a 1.
3. Conocido x gt0, verificación: 1 x2 gt;
4. Si x
5.Sean a gt0, b gt0 y a? b Intenta comparar los tamaños de aabb y abba.
Respuestas de referencia:
1. Solución: ∫(x-3)2-(x-2)(x-4)
=(x2- 6x 9)-(x2-6x 8)
= 1 gt;
? (x-3)2 >(x-2)(x-4).
2. Solución: (1)(m2-2m 5)-(-2m 5)
=m2-2m 5 2m-5
=m2. .
∫m2?0,?(m2-2m 5)-(-2m 5)? 0.
? m2-2m5? -2m5.
(2)(a2-4a 3)-(-4a 1)
=a2-4a 3 4a-1
=a2 2.
∵a2?0,?a2 2?2 gt0.
? a2-4a 3 >-4a 1.
3. Demuestre: ∫(1 x2)2-(1 x)2
=1 x x24-(x 1)
=x24,
∵x gt;0,?x24 gt0.
? (1 x2)2 gt; (1 x)2.
Por x gt0, 1 x2 gt 1 x.
4. Solución: (x2 y2)(x-y)-(x2-y2)(x y)
=(x-y)[(x2 y2)-(x y)2]
=-2xy(x-y).
∵x0, x-y lt; 0.
? -2xy(x-y)>0.
? (x2 y2)(x-y)>(x2-y2)(x y).
5. Solución: ∫aabbabba = aa-bb b-A =(ab)A-b, ¿y qué pasa con A? b,
Cuando a gtb gt0, ab gt1, a-b gt0,
Entonces (ab)A-B>1, entonces AABB>Abba.
Cuando b gta gt está en 0, 0
Entonces (ab)A-B>;1.
Entonces aabb gtabb company
En resumen, para números positivos desiguales A y B, existe AABB > Abba.
Preparación del segundo plan docente de la asignatura obligatoria de matemáticas de bachillerato "Relaciones de desigualdad y desigualdades".
Objetivos de enseñanza
Ser competente en demostrar desigualdades
Puntos clave y dificultades en la enseñanza
Ser competente en demostrar desigualdades
Proceso de enseñanza
Prueba de desigualdad 2
Habilidades básicas
1 Si , entonces la siguiente desigualdad siempre es correcta ()
<. p>2. Supongamos que a y b son números reales, entonces el valor mínimo es ().4. Demuestre: Para cualquier fórmula número X, Y, Z, las siguientes tres desigualdades no se pueden establecer al mismo tiempo.