Resumen de los puntos de conocimiento de cada capítulo del Curso Obligatorio 1 de Matemáticas de Secundaria
Capítulo 1 Conceptos de Conjuntos y Funciones
1. Conceptos relacionados con conjuntos
p>1. El significado de un conjunto: ciertos objetos específicos se reúnen para formar un conjunto, y cada objeto se llama elemento.
2. Tres características de los elementos de un conjunto:
1. Certeza de los elementos; 2. Mutualidad de los elementos; 3. Desorden de los elementos
Explicación: (1) Para un conjunto dado, los elementos del conjunto son ciertos, cualquier objeto. es un elemento del conjunto dado o no.
(2) En cualquier conjunto dado, dos elementos cualesquiera son objetos diferentes y los mismos objetos se clasifican en un conjunto Cuando, solo se cuenta un elemento.
(3) Los elementos del conjunto son iguales y no hay orden. Por lo tanto, para determinar si dos conjuntos son iguales, sólo es necesario comparar si sus elementos son iguales, sin comprobar la disposición. ¿El orden es el mismo?
(4) Las tres características de los elementos del conjunto hacen que el conjunto en sí sea determinista y holístico.
3. Representación del conjunto: {... } como {I Jugadores de baloncesto de nuestra escuela}, {Pacífico, Atlántico, Océano Índico, Océano Ártico}
1. Utilice letras latinas para representar el conjunto: A={Jugadores de baloncesto de nuestra escuela}, B={1,2,3,4 ,5}
2. Métodos de representación de conjuntos: método de enumeración y método de descripción.
Nota: Conjuntos de números de uso común y su notación:
El conjunto de números enteros no negativos (es decir, el conjunto de números naturales números) se anota como: N
El conjunto de números enteros positivos N* o N+, el conjunto de números enteros Z, el conjunto de números racionales Q, el conjunto de números reales R
Sobre el concepto de "pertenencia a"
Los elementos de un conjunto se suelen escribir en representación de letras latinas minúsculas, por ejemplo: a es un elemento del conjunto A, se dice que a pertenece al conjunto A y se registra como a∈A Por el contrario, a no pertenece al conjunto A y se registra como a?A
Método de enumeración: coloque los elementos en el conjunto Enumere los elementos uno por uno y luego rodéelos con llaves.
Método de descripción: describe los atributos públicos de los elementos de la colección y escríbalos entre llaves para representar la colección. Utilice OK La condición indica si ciertos objetos pertenecen a este conjunto.
①Método de descripción del lenguaje: Ejemplo: {Triángulo que no es un triángulo rectángulo}
②Método de descripción de la fórmula matemática: Ejemplo: El conjunto solución de la desigualdad x-3>2 es {x? R| x-3>2} o {x| x-3>2}
4. Clasificación de conjuntos:
1. Conjunto finito Conjunto que contiene un número finito de elementos
2. Conjunto infinito Conjunto que contiene infinitos elementos
3. Ejemplo de un conjunto que no contiene ningún elemento en el conjunto vacío: {x|x2=-5}
2. Relaciones básicas entre conjuntos
1. Relación de "inclusión" - subconjunto
p>Nota: Hay dos posibilidades: (1) A es parte de B; (2) A y B son el mismo conjunto.
Por el contrario: conjunto; A no está incluido en el conjunto B, o el conjunto B no contiene el conjunto A, por lo que se denota como A B o B A
2. Relación "igual" (5≥5, y 5≤5, luego 5=5)
Ejemplo: Sea A={x|x2-1=0} B={-1,1} "Elemento Igual"
Conclusión: Para dos conjuntos A y B, si cualquier elemento del conjunto A es un elemento del conjunto B, y al mismo tiempo, cualquier elemento del conjunto B es un elemento del conjunto A, tenemos se dice que el conjunto A es igual al conjunto B, es decir: A=B
① Cualquier conjunto es subconjunto de sí mismo AíA
②Subconjunto propio: Si AíB, y. A1 B entonces Di que el conjunto A es un subconjunto propio del conjunto B, denotado como A B (o B A)
③Si AíB, BíC, entonces AíC
④ Si AíB y BíA en el Al mismo tiempo, entonces A=B
p>3. Un conjunto que no contiene ningún elemento se llama conjunto vacío, denotado como Φ
Disposición: El conjunto vacío es cualquier conjunto
Subconjunto, el conjunto vacío es un subconjunto propio de cualquier conjunto no vacío.
3. Operaciones sobre conjuntos
1. Definición de intersección: Generalmente, el conjunto compuesto por todos los elementos que pertenecen a A y B se denomina intersección de A y B.
Denotado como A∩B (pronunciado como "A cruza B"), es decir, A∩B={x|x∈A, y x∈B}.
2. Definición de unión: Generalmente, el conjunto compuesto por todos los elementos pertenecientes al conjunto A o al conjunto B se denomina unión de A y B. Se registra como: A∪B (pronunciado como "A y B"), es decir, A∪B={x|x∈A, o x∈B}.
3. Propiedades de intersección y unión: A∩A = A, A∩φ= φ, A∩B = B∩A,A∪A = A,
A ∪ φ= A ,A∪B = B∪A.
4. Conjunto completo y conjunto complemento
(1) Conjunto complementario: supongamos que S es un conjunto y A es un conjunto de S Subconjunto (es decir), un conjunto compuesto por todos los elementos de S que no pertenecen a A, se llama complemento (o conjunto de restos) del subconjunto A en S
Se escribe como: CSA, que es, CSA ={x | x?S y x?A}
S
CsA
A
(2) Completo conjunto: Si el conjunto S contiene lo que queremos Todos los elementos de cada conjunto bajo estudio, este conjunto puede considerarse como un conjunto completo Generalmente representado por U.
(3) Propiedades: ⑴CU(C UA). =A ⑵(C UA)∩A= Φ ⑶(CUA)∪A=U
2. Conceptos relacionados de funciones
1. El concepto de función: supongamos que A y B son conjuntos de números no vacíos, si de acuerdo con una determinada relación correspondiente f, para cualquier número x en el conjunto A, existe un número único f (x) y un conjunto B en el conjunto B. corresponde, entonces f:A→B se llama función del conjunto A al conjunto B. Descrito como: y=f(x),x∈A. Entre ellos, x se llama variable independiente, el rango de valores A de x se llama dominio de la función, el valor y correspondiente al valor de x se llama valor de la función y el conjunto de valores de la función {f(; x)| x∈A} se llama valor del dominio de la función.
Nota: 2. Si solo se da la fórmula analítica y=f(x) sin especificar su dominio, el dominio de la función se refiere al conjunto de números reales que pueden hacer que esta fórmula tenga sentido ;3. El dominio de definición y el rango de valores de la función deben escribirse en forma de conjunto o intervalo.
Dominio Suplementario
El conjunto de los números reales 1) El denominador de la fracción no es igual a cero; (2) El radicando de una raíz cuadrada par no es menor que cero; (3) El número verdadero de la expresión logarítmica debe ser mayor que cero (4) La base del exponente y la expresión logarítmica debe ser mayor que cero y No igual a 1. (5) Si la función se compone de algunas funciones básicas; a través de cuatro operaciones aritméticas, entonces su dominio es el conjunto de valores de x que hacen que cada parte tenga significado (6) El exponente es de base cero No puede ser igual a cero (6) El dominio de la función en el problema real. También debe garantizar que el problema real sea significativo.
(Tenga en cuenta también: el conjunto de soluciones del grupo de desigualdad es el dominio de la función).
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Los tres elementos que constituyen una función: dominio, correspondencia y rango de valores
Nota nuevamente: (1) Los tres elementos que constituyen una función son dominio, correspondencia y rango de valores. Dado que el dominio del valor está determinado por el dominio y la relación correspondiente, si el dominio y la relación correspondiente de dos funciones son completamente consistentes, se dice que las dos funciones son iguales (o la misma función (2) Dos funciones son iguales cuando y). Solo si sus dominios de definición y relaciones correspondientes son completamente consistentes, independientemente de las letras que indican variables independientes y valores de función: ① La expresión es la misma ② El dominio de definición es consistente (ambos puntos deben estar presentes; al mismo tiempo)
(Consulte el ejemplo relacionado 2 en la página 21 del libro de texto)
Suplemento de rango de valores
(1). La función depende del dominio de definición y la regla correspondiente. No importa qué método se utilice para encontrarla. El rango de valores de una función debe considerar primero su dominio de definición (2). funciones, funciones cuadráticas, funciones exponenciales, funciones logarítmicas y funciones trigonométricas. Es la base para resolver el rango de valores de funciones complejas.
3. Resumen del conocimiento de gráficos de funciones
(1) Definición: En el sistema de coordenadas plano rectangular, el conjunto C de puntos P(x, y) con función y=f(x), x en (x∈A) como abscisa y valor de función y como ordenada, se llama imagen de la función y=f(x), (x ∈A).
Las coordenadas (x, y) de cada punto de C satisfacen la relación funcional y=f(x), y a su vez, cada conjunto de pares de números reales ordenados x, Los puntos (x, y) cuyas coordenadas son y están todas en C. Es decir, se registra como C={ P(x, y) | y= f(x) , x∈A }
Imagen C Generalmente es una curva continua suave (o línea recta), o puede estar compuesta por varias curvas o puntos discretos que tienen como máximo una intersección con cualquier línea recta paralela al eje Y.
(2) Método de dibujo
A. Método de dibujo de puntos: de acuerdo con la fórmula analítica y el dominio de la función, encuentre algunos valores correspondientes de xey y enumerelos, y use (x, y) como coordenadas para dibuje el punto correspondiente P (x, y) y finalmente use curvas suaves para conectar estos puntos.
B. Método de transformación de imágenes (consulte el curso obligatorio 4 Funciones trigonométricas)
Hay tres métodos de transformación de uso común, es decir, transformación de traducción, transformación de expansión y transformación de simetría
(3) Función:
1. Ver intuitivamente las propiedades de las funciones 2. Utilice el método de combinar números y formas para analizar las ideas del proceso de resolución de problemas. Mejorar la velocidad de resolución de problemas.
Descubrir errores en la resolución de problemas.
4. Comprenda rápidamente el concepto de intervalos
(1) Clasificación de intervalos: intervalos abiertos, intervalos cerrados, intervalos semiabiertos y semicerrados; (2) intervalos infinitos (3) representación de intervalos en eje numérico;
5. ¿Qué es el mapeo?
En términos generales, suponiendo que A y B son dos conjuntos no vacíos, si de acuerdo con una determinada regla correspondiente f, para cualquier elemento x en el conjunto A, en el conjunto B Hay un elemento único y correspondiente a él, entonces la correspondencia f: A B es un mapeo del conjunto A al conjunto B. Se registra como "f: A B"
Dado un conjunto A a B Mapeo, si a∈A, b ∈B. Y el elemento a corresponde al elemento b, entonces llamamos al elemento b la imagen del elemento a, y el elemento a se llama la imagen original del elemento b
Descripción: Función Es un mapeo especial. es una correspondencia especial ① Se determinan los conjuntos A y B y la regla correspondiente f ② La regla correspondiente tiene "direccionalidad", es decir, enfatiza la correspondencia del conjunto A al conjunto B. Está relacionada con La relación correspondiente de B. a A es generalmente diferente; ③ Para el mapeo f: A → B, debe satisfacer: (Ⅰ) Cada elemento en el conjunto A tiene una imagen en el conjunto B, y la imagen es única (II) Diferentes elementos en el conjunto A pueden; tener la misma imagen correspondiente en el conjunto B; (III) No es necesario que cada elemento del conjunto B tenga su imagen original en el conjunto A.
Representaciones de funciones de uso común y sus respectivas ventajas:
1 Un gráfico de función puede ser una curva continua, una línea recta, una polilínea, un punto discreto, etc. Preste atención para determinar si un gráfico es una función La base de la imagen 2 Método analítico: el dominio de la imagen; se debe tener en cuenta la función 3: al dibujar con el método de puntos, se debe prestar atención a: determinar el dominio de la función; simplificar la fórmula analítica de la función; observar las características de la función; las variables independientes deben ser representativas y deben poder reflejar las características del dominio de definición.
Nota: Método analítico: fácil de calcular el valor de la función. Método de lista: fácil de encontrar el valor de la función. Método gráfico: fácil de medir el valor de la función.
Suplemento 1: Función por partes. (Ver libro de texto P24-25)
Funciones con diferentes expresiones analíticas en diferentes partes del dominio Al calcular valores de funciones en diferentes rangos, las variables independientes deben sustituirse en las expresiones analíticas correspondientes. La expresión de la función no se puede escribir como varias ecuaciones diferentes, pero se escriben varias expresiones diferentes del valor de la función y se incluyen entre llaves izquierdas, y se anotan los valores de las variables independientes de cada parte. (1) Una función por partes es una función, no la confunda con varias funciones (2) El dominio de una función por partes es la unión del dominio de cada segmento, y el dominio de valor es la unión de los dominios de valor de cada segmento; segmento.
Suplemento 2: Función compuesta
Si y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A), entonces y=f [g(x)]=F(x),(x∈A) se llama compuesto de f y g
Función.
Por ejemplo: y=2sinX y=2cos(X2+1)
7. Monotonicidad de la función
(1). Función creciente
Sea I el dominio de la función y=f(x). Si para dos variables independientes cualesquiera x1 y x2 en un cierto intervalo D dentro del dominio I, cuando x1