Debemos tener mucho cuidado al suponer que existe una geodésica única entre dos puntos de una superficie. Dos puntos adyacentes en la esfera están conectados por una geodésica única, pero dos puntos completamente opuestos están conectados por geodésicas infinitas. De manera similar, dos puntos en la misma generatriz recta en la superficie cilíndrica están conectados por una geodésica a lo largo de la generatriz recta, pero hay infinitas líneas espirales que conectan los dos puntos como geodésicas. Si sólo hay un arco geodésico entre dos puntos de una región, entonces este arco proporciona el camino más corto entre los dos puntos. Mucha gente ha estudiado el problema de determinar geodésicas en superficies especiales.
En el artículo de Gauss de 1827, se demostró un famoso teorema sobre la curvatura para un triángulo compuesto de geodésicas (arriba). Sea k la curvatura variable de la superficie, por lo que es la integral de esta curvatura sobre el área a. El teorema de Gauss aplicado a este triángulo significa que la integral de la curvatura en el triángulo geodésico es igual al resto de la suma de las. tres ángulos mayores de 180, o La suma de los tres ángulos es menor que 180. Gauss consideró elegante este teorema, y este resultado generalizó el teorema de Lambert del capítulo anterior, que afirma que el área de un triángulo esférico es igual al producto de su resto esférico por el cuadrado de su radio, ya que k es un constante igual a .
La geometría diferencial de Gauss también tiene algún trabajo más importante. Lagrange discutió una vez el mapeo conforme de superficies giratorias a planos (ver geometría analítica y geometría diferencial en el siglo XVIII). En 1822, Gauss analizó las condiciones analíticas para encontrar la transformación conforme de cualquier superficie a cualquier otra superficie. Su artículo ganó un premio de la Real Academia Danesa de Ciencias. Su condición es equivalente a: sean t y u parámetros que representan la superficie. T y U son parámetros que representan otra superficie, entonces una función p iq de T y U es una función f de p iq, donde P iQ es la función correspondiente de los parámetros T y U, y P-iQ es f'(p- iq), donde f ' es f o una función obtenida reemplazando I en f con -I. La función f depende de la correspondencia entre las dos superficies, por T=T(t,U) y U(t,U ). definición. Gauss no respondió a la pregunta de si y cómo las partes finitas de una superficie se pueden mapear conforme a otra superficie, que Riemann estudió en su trabajo sobre funciones de valores complejos (ver Funciones complejas simples).
El trabajo de Gauss en geometría diferencial es un hito en sí mismo, y su importancia es más profunda que la propia evaluación de Gauss. Antes de este trabajo, las superficies se habían estudiado como figuras tridimensionales del espacio euclidiano, pero Gauss demostró que la geometría de la superficie se puede centrar en la superficie misma si X = X (u, V), Y = Y (U, V), Z = Z (U, V) está representado por los parámetros de la superficie en el espacio tridimensional. G suma, puedes obtener las propiedades euclidianas de esta superficie. De esta expresión, puedes deducir todas las propiedades de la superficie y plantear dos ideas extremadamente importantes: 1. La superficie en sí puede considerarse como un espacio (no un tres). -figura espacial dimensional), debido a que todas sus propiedades son definidas, si la geodésica se considera como una línea recta en la superficie, la geometría es no euclidiana. Si la esfera se estudia como un espacio en sí mismo, entonces tiene su propia geometría. Tomando la longitud y la latitud como coordenadas de un punto, la geometría de la superficie obviamente no es euclidiana, porque la línea recta/geodésica es un gran arco en la superficie, pero si se considera la superficie esférica como una superficie curva en forma de tres; espacio dimensional, la geometría esférica es euclidiana en Alemania, la distancia más corta entre dos puntos en una superficie es un segmento de recta en geometría euclidiana tridimensional (aunque no lo es en la superficie).
El trabajo de Gauss implica que existen al menos geometrías no euclidianas en las superficies (pero se desconoce si Gauss vio una interpretación no euclidiana de la geometría de las superficies). 2. Se puede considerar que las E, F y G inherentes de la superficie están determinadas por ecuaciones paramétricas, pero desde la superficie se pueden introducir dos familias de curvas paramétricas. Se pueden seleccionar las funciones E, F y G de U y V. arbitrariamente, por lo que la superficie tiene las siguientes funciones: La geometría determinada por F y G es inherente a la superficie y no tiene nada que ver con el espacio que la rodea. Al elegir diferentes E, F y G, una misma superficie puede tener diferentes geometrías. ¿Por qué no puedo elegir una función de distancia diferente en tres dimensiones? La función de distancia habitual en coordenadas cartesianas es , que es necesaria para la geometría euclidiana porque resulta ser la expresión analítica del teorema de Pitágoras. Sin embargo, para las mismas coordenadas rectangulares, se pueden elegir diferentes expresiones y así obtener diferentes geometrías (geometrías no euclidianas). Riemann heredó y extendió la idea de Gauss a cualquier espacio.