1. Función proporcional tipo función abstracta
Ejemplo 1 Se sabe que la función f(x) tiene f (x+y) = f (x)+ para cualquier número real. x e y f (y), y cuando x >; 0, f (x) > 0, f (-1) = -2, encuentre el rango de valores de f (x) en el intervalo [-2, 1].
Análisis: Primero demuestre que la función f(x) es una función creciente en R (tenga en cuenta que f(x2)= f[(x2-x 1)+x 1]= f(x2-x 1 )+ f(x 1)); y luego encuentre su rango según el intervalo musical.
Ejemplo 2 Se sabe que la función f(x) tiene f (x+y)+2 = f (x)+f (y) para cualquier número real x e y, y cuando x > ; 0 , f(x)>2, f (3) = 5, encuentre la desigualdad f (A2-2A-2)
Análisis: Primero demuestre que la función f(x) es una función creciente. en R (ejemplo 1); luego encuentre f(1) = 3; finalmente, elimine el signo de la función.
2. Función potencia función abstracta
Ejemplo 3 Se sabe que la función f(x) tiene f (xy) = f (x) f (y) para cualquier número real. x e y ), f (-1) = 1, f (27) = 9. Cuando 0 ≤ x < 1, f (x)
(1) determina la paridad de f(x
(2) determina que f(x) está en [0); , +∞] y dé la prueba;
(3) Si a≥0, F (A+1) ≤, encuentre el rango de valores de A.
Análisis :(1 ) Hacer Y =-1
(2) Usar f(x 1)= f(x2)= f()f(x2); ≤2.
3. Función abstracta exponencial
Ejemplo 4 Supongamos que el dominio de la función f(x) es (-∞, +∞), satisfaciendo las siguientes condiciones: x1≠x2, entonces que f (x 1)≠f(x2); para cualquier x e y, f (x+y) = f (x) f (y) se cumple.
(1)f(0);
(2) Para cualquier valor x, determine el signo del valor f(x).
Análisis: (1) Sea y = 0; (2) Sea y = x ≠ 0.
Ejemplo 5 La existencia de la función f(x) requiere las siguientes tres condiciones: ①f(x)>0, x∈N ②f(a+b)= f(a)f(b), a; , b∈N; ③ f (2) = 4. ¿al mismo tiempo? Si existe, encuentre la fórmula analítica de f(x). Si no existe, explique el motivo.
Análisis: Primero suponga que f(x) = 2x; luego demuéstrelo usando inducción matemática
4. Función abstracta logarítmica
Ejemplo 6 Suponga que f (x) es una función monótonamente creciente definida en (0, +∞), que satisface f (x y) = f (x) + f (y), f (3) = 1, encuentre:
(1)f (1);
(2) Si f (x)+f (x-8) ≤ 2, encuentre el rango de valores de x.
Análisis: (1) Utilice 3 = 1×3;
(2) Utilice la monotonicidad de la función y la relación conocida.
Ejemplo 7 Sea la función inversa de la función y = f (x) ser y = g (x). Si f (ab) = f (a)+f (b), entonces g (a+b) = g (a) g (b) es correcto, explique por qué.
Análisis: Supongamos f (a) = m, f (b) = n, entonces g (m) = a, g (n) = b,
Entonces m+n = f(a)+f(b)= f(ab)= f[g(m)g(n)].
5. Función abstracta trigonométrica
Ejemplo 8 Se sabe que el dominio de la función f(x) es simétrico respecto al origen y satisface las siguientes tres condiciones:
(1) Cuando x1 y x2 son números en el dominio, f(x 1-x2)=;
② f (a) =-1 (a > 0, a es el número de dominio in);
③Cuando 0 < x < 2a, f (x) < 0.
Pregunta:
(1) ¿Cuál es la paridad de f(x)? Explique la razón;
(2) ¿Cuál es la monotonicidad de f(x) en (0, 4a)? Explique por qué.
Análisis: (1)F[-(x 1-x2)]=-F[(x 1-x2)] se utiliza para determinar que f(x) es una función impar;
(3) Primero demuestre que f(x) es una función creciente en (0, 2a), y luego demuestre que F (x) también es una función creciente en (2a, 4a).
Para resolver problemas de funciones abstractas, aunque no se pueden usar modelos especiales para reemplazar la solución, se pueden usar modelos especiales para comprender el significado del problema. Para algunos problemas de funciones abstractas, los modelos especiales correspondientes no son las funciones elementales básicas con las que estamos familiarizados. Por lo tanto, debemos realizar modificaciones apropiadas en diferentes funciones y buscar modelos especiales para resolver mejor los problemas de funciones abstractas.
Ejemplo 9 Se sabe que la función f(x)(x≠0) satisface f (xy) = f (x)+f (y),
(1) Verificación: f (1)= f(-1)= 0;
(2) Demuestre: f(x) es una función par;
(3) Si f(x ) es (0 , +∞), resuelve la desigualdad f (x)+f (x-) ≤ 0.
Análisis: El modelo de función es: f (x) = loga =-1;
(2) Sea y =-1;
(3) ) Si f(x) es una función par, entonces f (x) = f (| x | ).
Ejemplo 10 Se sabe que para todos los números reales x e y, la función f(x) satisface f(0)≠0, f (x+y) = f (x) f (y) , cuando x < 0, f (x) > 1. Prueba:
(1) Cuando x > 0, 0 < f(x)< 1;
(2) f(x) es una función decreciente en x∈R <. /p>
Análisis: (1) Primero estipule x = y = 0 para obtener f (0) = 1, y luego haga y =-x
(3) Sujeto a la monotonicidad de; la función exponencial Inspiración:
F (x+y) = f (x) f (y) da f (x-y) =,
Además, de x1 < x2, tenemos =f(x1-x2) > 1.
En resumen, las funciones abstractas están estrechamente relacionadas con la monotonicidad, la paridad y muchas otras propiedades de la función. Junto con su abstracción y variabilidad, existen muchos tipos de preguntas y métodos complejos de resolución de problemas. Sin embargo, reemplazar funciones abstractas con modelos especiales es un método de enseñanza eficaz que puede resolver la mayoría de los problemas de funciones abstractas en matemáticas de la escuela secundaria. Esto está en consonancia con las características de edad y el nivel cognitivo de los estudiantes. No solo es fácil de entender y aceptar para los estudiantes, sino que también se siente realmente confiable.