Lema: Si A y B son matrices m×n en el campo numérico F, y los rangos de A y B son iguales (es decir, r(A ) =r(B)),
Entonces hay una matriz p invertible, por lo que B=PA. La prueba es la siguiente:
Prueba: Debido a que r(A)=r, A se puede transformar en la matriz C mediante una transformación de fila elemental de rango completo:
er 0
0 0
Donde er es la matriz identidad de orden r.
Dado que cada transformación de fila básica equivale a multiplicar A por la matriz de congruencia Pi, suponiendo que se realiza la transformación de S pasos, PS...P2P 1A = C
Del mismo modo, B puede convertirse en C mediante la transformación de columna elemental de rango completo. Cada transformación de columna es equivalente a la multiplicación por la izquierda de la matriz elemental Qj. Supongamos que se realiza una transformación de T pasos, Qt...Q2Q1B = C.
Eso es Qt...q2q1b = c = PS...p2p1a.
Dado que la matriz de congruencia es reversible, los lados izquierdo y derecho de la fórmula anterior se multiplican por q1 (-1) q2 (-1)...qt (-1) al mismo tiempo :
b = q 1(-1)Q2(-1)...Qt (-1) PS...p2p1a = pa, donde p = q1 (-668).
El lema lo demuestra.
Aplicando este lema, demostraremos el problema que nos diste.
Prueba:
Necesidad:
Si AX=0 y BX=0 tienen la misma solución, es decir, las soluciones de AX=0 son ambas BX = La solución de 0 y la solución de BX=0 son todas las soluciones de AX=0.
Supongamos que r(A)=r, r(b)= s; entonces el sistema de solución básico del sistema de ecuaciones homogéneo AX=0 tiene n-r vectores de solución, y luego el sistema de solución básico de la ecuación homogénea sistema BX=0 Hay n-s vectores de solución en el sistema.
Dado que las soluciones de AX=0 son todas soluciones de BX=0, el vector solución en el sistema de solución básico de este último no es menor que el primero, es decir, n-s≥n-r, es decir, s ≤ r
Del mismo modo, r≤s también se cumple, por lo que R = S.
Por lo tanto, según el lema, existe una matriz invertible p tal que B=PA. Demostró la necesidad.
㈡Suficiencia:
Si existe una matriz invertible p tal que B=PA,
entonces para cualquier solución x con BX=0, existe PAX= 0.
Debido a que P es reversible, el inverso de P multiplicado simultáneamente en ambos lados de la ecuación PAX=0 es AX=0.
Entonces, las soluciones de BX=0 son todas soluciones de AX=0;
Para cualquier solución X de AX=0, multiplica ambos extremos de la ecuación AX=0 por P, y obtenemos PAX=BX=0.
Entonces la solución a AX=0 es también la solución a BX=0.
Por tanto, AX=0 y BX=0 tienen la misma solución, y se demuestra la suficiencia.
¡La proposición original está probada!
Espero que se adopte. Si no lo entiende, puede preguntar. Si tiene alguna pregunta en el futuro, puede preguntarme. ¡Me encantan las matemáticas!