Una secuencia de números ordenados en un orden determinado se llama secuencia. Cada número en una secuencia se llama elemento de la secuencia. El número uno se llama el primer término de esta secuencia (a menudo también se llama el primer término), el número dos se llama el segundo término de esta secuencia... El número n se llama el enésimo término de esta secuencia. Por lo tanto, la forma general de la secuencia se puede escribir como
a1, a2, a3,..., an,...
Abreviada como {an}, una secuencia con términos finitos es una "secuencia fina", y el término Una secuencia infinita es una "secuencia infinita".
A partir del segundo elemento, una secuencia en la que un elemento es mayor que el anterior se denomina secuencia creciente.
A partir del segundo elemento, una secuencia en la que cada elemento; es menor que el elemento anterior se llama secuencia creciente es una secuencia decreciente;
Una serie en la que los términos son iguales se llama serie constante a partir del segundo término, algunos términos son mayores que el; término anterior, y algunos términos son más pequeños que el término anterior, lo que se llama secuencia de oscilación;
Una secuencia que cambia periódicamente se llama secuencia periódica (como una función trigonométrica);
Una serie con términos iguales se llama serie constante.
Fórmula general: La relación entre el enésimo término an de una secuencia y el número ordinal n del término se puede expresar mediante una fórmula. Esta fórmula se denomina fórmula general de esta secuencia.
El número total de números de una serie es el número de elementos de la serie. En particular, esta secuencia puede considerarse como una función an=f(n), cuyo dominio es el conjunto de números enteros positivos N* (o su subconjunto finito {1, 2,..., n}).
Si se puede expresar mediante una fórmula, su fórmula general es a(n)=f(n).
Método de representación
Si la relación entre el enésimo término de la secuencia {an} y el número de secuencia n se puede expresar mediante una fórmula, entonces esta fórmula se denomina fórmula de término general de la secuencia. Como por ejemplo =(-1)(n 1) 1.
Si la relación entre el enésimo término de la serie {an} y su término o términos anteriores se puede expresar mediante una fórmula, entonces esta fórmula se llama fórmula de recursividad de la serie. Por ejemplo, an = 2a(n-1) 1(n gt; 1)
Serie aritmética
Definición
En términos generales, si una secuencia comienza desde A partir del segundo término, la diferencia entre cada término y el término anterior es igual a la misma constante. Esta secuencia se llama secuencia aritmética. Esta constante se llama zona de tolerancia de la secuencia aritmética. La tolerancia generalmente se representa con la letra. d.
Abreviatura
A.P. (La secuencia aritmética se puede abreviar como A.P.).
Mediana aritmética
La secuencia aritmética compuesta por tres números A, A, B se puede llamar la secuencia aritmética más simple. En este momento A se llama media aritmética de A y b.
Fórmula de términos generales
an=a1 (n-1)d
Suma de los primeros n términos
sn = n( a 1 an)/2 = n * a 1 n(n-1)d/2
Natural
La relación entre dos am cualesquiera y an es:
an=am (n-m)d
Puede considerarse como la fórmula general de la secuencia aritmética.
De la definición de la secuencia aritmética, la fórmula general y las primeras n fórmulas, también podemos deducir:
a 1 an = a2 an-1 = a3 an-2 = …= AK an-k-1, k∈{1, 2,…,n}
Si m, N, p, q∈N*, m n=p q, entonces lo hay.
soy an=ap aq
Sm-1=(2n-1)an, S2n 1 =(2n 1)an 1
Sk, S2k- Sk, S3k-S2k,…, Snk-S(n-1)k…o secuencia aritmética, etc.
Suma = (primer artículo y último artículo) × número de artículos ÷ 2
Número de artículos = (último artículo - primer artículo) ÷ tolerancia 1
El primer elemento = 2, el número de elementos: el último elemento
El último elemento = 2, el número de elementos: el primer elemento
aplicación de aplicación
En la vida diaria, la gente suele utilizar secuencias aritméticas, por ejemplo, para clasificar los tamaños de varios productos.
Cuando el tamaño máximo y el tamaño mínimo no son muy diferentes, se suelen clasificar según la secuencia aritmética.
Si es una secuencia aritmética, y an = m, am = n, entonces a (m n) = 0.
Serie gorométrica
Definición
En términos generales, si una secuencia comienza con el segundo término, la relación entre cada término y su término anterior es igual a Una constante , esta secuencia se llama serie geométrica. Esta constante se llama razón común de la serie geométrica y suele representarse con la letra q.
Abreviaturas
Las series geométricas se pueden abreviar como G.P.
Media geométrica
Si se inserta un número G entre A y B de modo que A, G y B se convierten en una serie geométrica, entonces G se llama relación entre A y B Mediana. .
Fórmula de términos generales
an=a1q^(n-1)
La suma de los primeros n términos
Cuando q ≠1, la fórmula para la suma de los primeros n términos de la serie geométrica es
sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/ ( 1-q)(q≠1)
Natural
La relación entre dos términos cualesquiera am y an es an = am q (n-m).
(3) De la definición de serie geométrica, la fórmula general, los primeros n términos y la fórmula, se puede deducir que a 1 An = A2 An-1 = A3 An-2 =.. .= AK An-K 1 ,k∈{1.
(4) Término mediano de razón igual: aq ap = ar * 2, ar es ap, aq es el término mediano de razón igual.
Si π n = A1 A2 … an, entonces π2n-1=(an)2n-1, π2n 1 =(an 1)2n 1.
Además, una serie geométrica cuyos términos son todos números positivos, tomando la misma base, forma una sucesión aritmética en cambio, tomando como base cualquier número positivo C, utilizando los términos de una aritmética; secuencia La construcción de una energía potencia como exponente es una serie geométrica. En este sentido decimos que una serie geométrica positiva y una serie aritmética son "isomorfas".
Natural:
(1) Si m, N, p, q∈N* y m n = p q, entonces am an = AP AQ;
②En una serie geométrica, cada k términos se suma en secuencia y aún así se convierte en una serie geométrica.
G es el término medio en la proporción de A y B, G 2 = AB (G ≠ 0).
(5) La suma de los primeros N términos de la sucesión geométrica Sn = a 1(1-q N)/(1-q).
En las series geométricas, el primer término A1 y la razón común Q no son cero.
Nota: En la fórmula anterior, una n representa la enésima potencia de a.
Aplicación de aplicación
Las series geométricas se utilizan a menudo en la vida.
Por ejemplo, los bancos tienen una forma de pagar intereses: el interés compuesto.
Es decir, el interés anterior y el precio del oro de Hepburn se cuentan como capital.
Calcular el interés del siguiente periodo, lo que comúnmente se denomina interés rodante.
La fórmula para calcular la suma del principal y los intereses basada en el interés compuesto: suma del principal y los intereses = principal * (1 tasa de interés) período de depósito.
Si una secuencia comienza con el segundo término y la razón de cada término con el término anterior es igual a la misma constante, la secuencia se llama serie geométrica. Esta constante se llama razón común de la serie geométrica, generalmente representada por la letra Q (q≠0).
La fórmula general de las series geométricas es: an = a1 * q (n-1).
Si la fórmula general se transforma en an = a1/q * q n (n ∈ n *), cuando q > 0, an puede considerarse como una función de la variable independiente n, y el punto ( n, an) es un conjunto de puntos aislados en la curva y = a1/q * q x.
(2)Fórmula de suma: Sn=nA1(q=1)
sn=a1(1-q^n)/(1-q)
=(a1-a1q^n)/(1-q)
= a 1/(1-q)-a 1/(1-q)* q n (es decir, a-AQ n)
(Premisa: Q no es igual a 1)
La relación entre dos elementos cualesquiera am y an es an = am q (n-m).
(3) De la definición de serie geométrica, la fórmula general, los primeros n términos y la fórmula, se puede deducir que a 1 An = A2 An-1 = A3 An-2 =.. .= AK An-K 1 ,k∈{1.
(4) Término medio de igual razón: aq ap = ar^2, Ar es AP, AQ término medio de igual razón.
Si π n = A1 A2 … an, entonces π2n-1=(an)2n-1, π2n 1 =(an 1)2n 1.
Además, una serie geométrica cuyos términos son todos números positivos, tomando la misma base, forma una sucesión aritmética en cambio, tomando como base cualquier número positivo C, utilizando los términos de una aritmética; secuencia La construcción de una energía potencia como exponente es una serie geométrica. En este sentido decimos que una serie geométrica positiva y una serie aritmética son "isomorfas".
La solución general de una sucesión general
En términos generales, existen:
an=Sn-Sn-1
Cociente- Multiplicación total por cociente (para secuencias con números desconocidos en el cociente del término siguiente y del término anterior).
Método de reducción (deformar la secuencia de manera que el recíproco de la secuencia original o la suma de una determinada constante sea igual a la diferencia o serie geométrica).
Notas del lector
En la secuencia aritmética, siempre hay Sn S2n-n S3n-2n.
2S2n-n=(S3n-S2n)Sn
Es decir, las tres son series geométricas, y también son series geométricas. 3. Haz series aritméticas.
Cómo escribir el término general de una secuencia especial
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8...- an=n
1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7, 1/8...- an=1/n
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14....- an=2n
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15.. ...- an=2n -1
-1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1...an=(-1)^n
1, -1 , 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1...——an=(-1)^(n 1)
1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 01, 0, 1, 0, 1....un=[(-1)^(n 1) 1]/2
1, 0, -1, 0, 1 , 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0...- an=cos(n-1)π/2=sinnπ/ 2
9, 99, 999, 9999, 99999,......un=(10^n)-1
1, 11, 111, 1111, 11111......un=[(10^n)-1] /9
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ....... an=n^2
1, 2, 4, 8, 16, 32...——an=2^(n-1)
N antes de la secuencia Resolviendo la fórmula de suma de términos
1.
Series aritméticas:
La fórmula general an=a1 (n-1)d, el primer término a1, la tolerancia d, el enésimo término de an.
An=ak (n-k)d ak es el késimo elemento.
Si A, A y B forman una sucesión aritmética, entonces A=(a b)/2.
2. La suma de los primeros n términos de la serie aritmética:
Supongamos que la suma de los primeros n términos de la secuencia aritmética es Sn.
Es decir, Sn=a1 a2... An;
Entonces Sn=na1 n(n-1)d/2.
= dn ^ 2 (es decir, la segunda potencia de n)/2 (a1-d/2)n
También existen los siguientes métodos de suma: 1. Inducción incompleta 2, sumar 3, sumar inversamente.
(2) 1. Series geométricas:
La fórmula general an = a1 * q (n-1) (es decir, la potencia n-1 de q) a1 es la primer término, an es el enésimo elemento.
an=a1*q^(n-1, am=a1*q^(m-1))
Entonces an/am = q (n-m)
(1)an=am*q^(n-m)
(2) Si a, g y b forman el término medio de igual proporción, entonces g 2 = ab (a, b, g no son iguales a 0).
(3) Si m n=p q, am×an=ap×aq.
2. Las primeras N sumas de series geométricas
Supongamos que a1, a2, a3... se forma una serie geométrica.
La suma de los primeros n términos Sn=a1 a2 a3...uno;
sn = a 1 a 1 * q a 1 * q 2 ...a 1 * q( n-2) a 1 * q(n-1)(.
sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/( 1- q);
Nota: Q no es igual a 1;
Sn=na1 Nota: q=1
Generalmente existen cuatro métodos para suma: 1, inducción incompleta, 2 veces 3 suma fuera de lugar