Entonces f'(x)=2xln|x|+x? 1/x
=2xln|x|+x
=x(2ln|x|+1)
La ecuación sobre x f(x)= kx -1 tiene solución real, es decir, la recta y=kx-1 se cruza con la imagen de f(x), es decir, la recta y=kx-1 queda intercalada entre los puntos (0,- 1) por donde pasa f(x).
Supongamos que la recta tangente de f(x) que pasa por el punto (0, -1) es y=mx-1, y el punto tangente es (x0, y0).
x0(2ln|x0|+1)=m
x0? ln|x0|=mx0-1
La solución es x0 = 1, m1=1 o m2=-1.
Siempre que k≥m1 o k≤m2.
Entonces, cuando k≥1 o k≤-1, la ecuación f(x)=kx-1 sobre X tiene solución real.