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Introducción al método para resolver el rango de valores de la función
Xu Tianyi, escuela secundaria Jiesheng Wenchang en el área urbana
Entre los tres elementos de la función, el dominio de definición y el rango de valores juegan un papel decisivo, y el rango de valores está determinado por el dominio de definición y las leyes correspondientes. Al estudiar el rango de valores de una función, no solo debemos prestar atención al papel de las reglas correspondientes, sino también a las limitaciones del rango de valores definido. Determinar el rango de una función es una parte indispensable de la investigación de funciones. Cómo encontrar el rango de una función es un dolor de cabeza para los estudiantes. Implica una amplia gama de conocimientos y métodos flexibles. A menudo aparece en el examen de ingreso a la universidad y ocupa un cierto estatus. Si el método se utiliza correctamente, puede simplificar el proceso operativo, evitar el tedio y obtener el doble de resultado con la mitad de esfuerzo. Este artículo resume la solución al rango de funciones de la siguiente manera como referencia.
1. Método de observación directa
Para algunas funciones simples, sus rangos de valores se pueden obtener mediante observación.
Ejemplo 1 Encuentra el rango de valores de la función y =
Solución: x ≠0, 0
Obviamente, el rango de valores de la función es: ( -∞, 0)∩(0,+∞).
El ejemplo 2 encuentra el rango de valores de la función y = 3-.
Solución: ≥0-≤0 3- ≤3
Por lo tanto, el rango de valores de la función es:. Eso es -1≤ ≤1.
La solución es:-≤y≤ entonces el rango de valores de la función es [-,].
6. Método de monotonicidad de la función
El ejemplo 9 encuentra el rango de valores de la función y = (2≤x≤10).
Solución: Supongamos y =, =, entonces y es una función creciente en [2, 10].
Entonces y = y+ es una función creciente en [2, 10].
Cuando x = 2, y =+=,
Cuando x = 10, y =+=33.
Entonces el rango de valores de la función es: [, 33].
Ejemplo 10: Encuentre el rango de valores de la función y=-.
Solución: La función original se puede simplificar a: y=
Supongamos y =, =. Obviamente, y es una función creciente ilimitada en [1, +∞], entonces y = y+ también es una función creciente ilimitada en [1, +∞). Entonces, cuando x = 1, y = y+ tiene un valor mínimo y la función original tiene un valor máximo =.
Obviamente y > 0, por lo que el rango de valores de la función original es (0,].
7. Método alternativo
Se puede obtener una función mediante sustitución simple Se convierte en una función simple y sus tipos de preguntas se caracterizan por fórmulas que contienen expresiones radicales o modelos de funciones trigonométricas. El método de sustitución es uno de los métodos matemáticos más importantes y también juega un papel importante en encontrar el rango de valores de una función.
Ejemplo 11: Encuentre el rango de valores de la función y = x+
Solución: Supongamos que x-1=t, y (t≥0), entonces x= +1 >.
∵y= +t+1=+, y t≥0, que se conoce por las propiedades de las funciones cuadráticas
Cuando t=0, y = 1, cuando t →0, y. →+∞.
Entonces el rango de valores de la función es [1, +∞).
Ejemplo 12: Encuentre el rango de valores de la función y =x+2+
Solución: Debido a que 1- ≥0, entonces ≤1.
Entonces x+1=cosβ, β∈[ 0, ∏] se puede hacer.
∴y=cosβ+1+ = sinβ+cosβ+1 = sin(β+∏/4)+1
∵0≤β≤∏,0 ≤β+∏ /4≤5∏/4
∴ - ≤sen(β+∏/4)≤1
∴ 0 ≤ sin(β+∏/4)+1≤1+ .
Por lo tanto, el rango de la función es [0, 1+].
Ejemplo 13: Encuentre el rango de valores de la función y=
Solución: La función original se puede transformar en: y=-
Supongamos x=tgβ, entonces = sin2bβ, = cos2bβ.
∴y=- sin2β cos2β= - sin4β
Cuando β= k∏/2-∏/8, =.
Cuando β = k∏/2+∏/8, y =-
En este momento tgβ se vuelve significativo.
Entonces el rango de la función es [-,].
El ejemplo 14 encuentra el rango de valores de las funciones y=(senx+1)(cosx+1) y x∈[-∏/12∏/2].
Solución: y = (sinx+1)(cosx+1)= sinx cosx+sinx+cosx+1.
Supongamos que sinx+cosx=t, entonces sinxcosx= (-1)
y = (-1)+t+1=
Por t=sinx +cosx= sin(x+∏/4) y x∈[- ∏/12, ∏/2]
Disponible: ≤t≤
Cuando t=, =+∴ , cuando t=, y=+
Por lo tanto, el rango de la función es [+, +].
Ejemplo 15: Encuentra el rango de valores de la función y=x+4+
Solución: De 5-x≥0, podemos obtener∣x∣≤
Por lo tanto, x = cosβ, β∈[0, ∏]
y= cosβ+4+ sinβ= sin(β+∏/4)+ 4
∵ 0 ≤β≤ ∏, ∴ ∏/4≤β+∏/4≤5∏/4
Cuando β=∏/4, =4+, cuando β = ∏, y =4-.
Por lo tanto, el rango de la función es [4-, 4+].
Método de combinación en forma de 8
El tipo de pregunta es una función de resolución, que tiene un significado geométrico obvio, como la fórmula de distancia entre dos puntos y la pendiente de una línea recta. Si este tipo de problema combina números y formas, suele ser sencillo, claro y agradable a la vista.
Ejemplo 16: Encuentre el rango de valores de la función y=+.
Solución: la función original se puede simplificar: y=∣x-2∣+∣x+8∣.
La fórmula anterior se puede considerar como el punto P(x) en el eje numérico a La suma de las distancias entre los puntos fijos A(2) y B(-8).
Como se puede ver en la figura anterior, cuando el punto P está en el segmento AB,
y=∣x-2∣+∣x+8∣=∣AB∣= 10
Cuando el punto p es la extensión o extensión inversa del segmento AB,
y=∣x-2∣+∣x+8∣>∣AB∣=10< / p>
Por lo tanto, el rango de la función es: [10, +∞)
Ejemplo 17 Encuentra el rango de valores de la función y=+
Solución: El original La función se puede transformar en :y=+
La fórmula anterior se puede considerar como la distancia desde el punto P (x, 0) a dos puntos fijos A (3, 2) y B (-2, - 1) en la suma del eje X.
Como se puede ver en la figura, cuando el punto p es la intersección del segmento de línea y el eje x, y = ∣ AB = =,
Entonces el rango de valores de la función es [, +∞).
Ejemplo 18: Encuentre el rango de valores de la función y=-
Solución: convierta la función en: y=-
Se puede considerar la fórmula anterior como fijo La diferencia entre la distancia desde el punto A (3, 2) al punto P (x, 0) y la distancia desde el punto fijo B (-2, 1) al punto P (x, 0). Es decir: y=∣AP∣-∣BP∣.
Se puede ver en la figura: (1) Cuando el punto P está en el eje X y no es la intersección de la recta AB y el eje X, como el punto P ? , constituye △ABP? Basado en el hecho de que la diferencia entre los dos lados del triángulo es menor que el tercer lado,
¿Existe un ∣∣AP? ∣-∣BP? ∣∣ 0, y= = ≤, y si y solo si t=1, es decir, x=-1, toma el signo igual.
Entonces 0 < y ≤
(2) Cuando t=0, y=0. En resumen, el rango de valores de la función es: [0,].
Nota: Primero reemplace los elementos y luego use el método de desigualdad.
El ejemplo 22 encuentra el rango de valores de la función y=.
Solución: y=+=+
Supongamos x=tg, entonces =, = sin,
∴y= + sin =- + sin +1
=- +
Cuando sin =, =. Cuando sen =-1, y =-2.
Si tg existe en este momento, entonces el rango de valores de la función es: [-2,].
Nota: Esta pregunta utiliza primero el método de sustitución. Luego use el método de colocación y luego use la limitación del pecado.
En resumen, al encontrar el rango de valores de una función, primero se deben observar cuidadosamente las características de su tipo de pregunta y luego elegir un método apropiado. Generalmente, el método directo, el método de monotonicidad de funciones y el método de desigualdad básica son los principales, y se considerarán otros métodos especiales.