El teorema del valor medio diferencial es un término general para una serie de teoremas del valor medio que incluyen: el teorema del valor medio de Fermat, el teorema de Rolle, la fórmula de Taylor, el teorema del valor medio de Lagrange, la regla de L'Hôpital y la regla de Cauchy. Teorema del valor medio. , Teorema de Darboux Se puede decir que otros teoremas del valor medio son casos especiales o extensiones del teorema del valor medio de Lagrange.
Contenido del teorema del valor medio de Fermat: Sea la función f(x). obtenido en ξ Valor extremo, y f(x) es diferenciable en el punto ξ, entonces f'(ξ)=0: Si el valor máximo (valor mínimo) de la función f(x) en el intervalo I está en el punto c. en I, y f(x) es diferenciable en el punto c, entonces f'(c)=0
Contenido del teorema de Rolle: Si la función f(x) satisface: en el intervalo cerrado. [a, b]; diferenciable en el intervalo abierto (a, b), los valores de la función en los puntos finales del intervalo son iguales, es decir, f (a) = f (b), entonces hay al menos uno. punto ξ(aN) en (a, b) Cuando f'(x) y F'(x) existen, y F'(x)≠0 (3) cuando x→∞, lim f'(x)/; F'(x) existe (o es infinita), entonces cuando x→∞, lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)
Contenido. del teorema del valor medio de Cauchy:
Si las funciones f(x) y F(x) satisfacen
(1) son continuas en el intervalo cerrado [a, b]; >
(2) son continuas en el intervalo abierto (a, b) Internamente diferenciables
(3) Para cualquier x(a, b), F'(x)≠0 entonces hay; al menos un punto ξ en (a, b), de modo que la ecuación [f( b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f'(ξ)/F'(ξ ) está establecido.
Contenido del teorema de Darboux: Si la función f( x) es diferenciable en [a, b], entonces f′(x) puede tomar cualquier valor entre f′(a) y f. ′(b) en [a, b]. Generalización: Si f(x), g(x) es todo diferenciable en [a, b], y en [a, b], g′(x)≠0, entonces f′(x)/g′(x) puede tomar f′(a )/g′(a) y f′(b)/g′(b).