La "行" en "行" en la cafetería es una forma de parada continua, que es similar al significado narrativo antes y después de la forma "て". La diferencia entre て y て es que て es una palabra hablada y, cuando se usa con parada, es más una palabra escrita. Creo que está bien decir eso.
Hoy he ido a la cafetería a desayunar.
En el comedor podrás comer, comer y viajar.
Siempre queda una sensación extraña al leer esta frase. Siento que el problema está en へ y le señalé la dirección. La cantina está bien. Sí; puedes ir a un restaurante a comer o ir a un restaurante. También puedes comer en la cafetería.
A partir de los tres ejemplos anteriores, podemos entender que la extraña razón puede ser que compilamos esta oración basándonos en la gramática, lo cual tiene sentido, pero el japonés, como el chino, tiene sus propios hábitos de habla. La próxima vez, sugiero que el autor ponga sus frases en Google y vea cómo los japoneses dicen resultados japoneses con significados similares. Puede resultar esclarecedor. Buena suerte.