Las funciones trigonométricas son un tipo común de funciones angulares en matemáticas. También se puede decir que una función con el ángulo como variable independiente y la razón del ángulo correspondiente a dos lados cualesquiera como variable dependiente se llama función trigonométrica. La función trigonométrica relaciona el ángulo interior de un triángulo rectángulo con la razón de. las longitudes de sus dos lados también se pueden usar de manera equivalente con Se definen las longitudes de varios segmentos de línea relacionados con el círculo unitario. Las funciones trigonométricas juegan un papel importante en el estudio de las propiedades de formas geométricas como triángulos y círculos, y también son herramientas matemáticas básicas para estudiar fenómenos periódicos. En el análisis matemático, las funciones trigonométricas también se definen como series infinitas o soluciones de ecuaciones diferenciales específicas, lo que permite extender sus valores a valores reales arbitrarios, incluso valores complejos.
Las funciones trigonométricas comunes incluyen funciones seno, coseno y tangente. En otras disciplinas como la navegación, la topografía y la cartografía y la ingeniería, también se utilizan funciones cotangentes, funciones secantes, funciones cosecantes, funciones escalares, funciones covectores, funciones vectoriales semiseno, funciones semicovectoriales, etc. La relación entre diferentes funciones trigonométricas se puede derivar mediante la intuición geométrica o el cálculo, llamadas identidades trigonométricas.
Las funciones trigonométricas se utilizan generalmente para calcular lados de longitudes desconocidas y ángulos desconocidos en triángulos, y se utilizan ampliamente en navegación, ingeniería y física. Además, utilizando funciones trigonométricas como plantilla, se puede definir una clase similar de funciones, llamadas funciones hiperbólicas. Las funciones hiperbólicas comunes también se denominan funciones seno hiperbólicas, funciones coseno hiperbólicas, etc. Las funciones trigonométricas (también llamadas funciones circulares) son funciones de ángulos y son importantes para estudiar triángulos y modelar fenómenos periódicos y muchas otras aplicaciones. Las funciones trigonométricas generalmente se definen como la relación de dos lados de un triángulo rectángulo que contiene el ángulo, o equivalentemente, como las longitudes de varios segmentos de línea en el círculo unitario. Las definiciones más modernas los expresan como soluciones de series infinitas o ecuaciones diferenciales específicas, lo que les permite extenderse a valores positivos y negativos arbitrarios, incluso valores complejos.
Definición de funciones trigonométricas en cualquier ángulo:
Como se muestra en la figura: Sea O-x el lado inicial de cualquier ángulo α en el sistema de coordenadas plano rectangular y elija cualquier punto P. (x , y), sea OP=r.
sinα=y/r cosα=x/r
cscα=r/y secα=r/x
tanα=y/x cotα=x/y
Definición del círculo unitario:
Las seis funciones trigonométricas también se pueden definir basándose en el círculo unitario con un radio de 1 y un centro como origen. La definición de círculo unitario tiene poco valor computacional práctico; de hecho, se basa en triángulos rectángulos para la mayoría de los ángulos. Pero la definición del círculo unitario permite definir funciones trigonométricas para todos los argumentos positivos y negativos, no solo para ángulos entre 0 y π/2 radianes. También proporciona un gráfico que incluye todas las funciones trigonométricas importantes. Según el teorema de Pitágoras, la ecuación del círculo unitario es: para cualquier punto (x, y) del círculo, x?+y?=1.
En las funciones trigonométricas, hay algunos ángulos especiales, como 30°, 45° y 60°. Los valores de la función trigonométrica de estos ángulos son monomios simples y los valores específicos pueden ser. obtenidos directamente durante los cálculos.
Identidades trigonométricas:
Suma y diferencia de dos ángulos
Contenido
cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα · sinβ
cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ
sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ
sin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sinβ
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)
tan ( α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)
Demostración
Toma el sistema de coordenadas rectangular y construye el círculo unitario
Tome un punto A, conecte OA, y el ángulo entre él y el eje X es α. Tome un punto B, conecte OB, y el ángulo entre él y ,sinα),B(cosβ,sinβ) OA=(. cosα,sinα) OB=(cosβ,sinβ)
OA·OB
=|OA||OB|cos( α-β) =cosαcosβ+sinαsinβ
|OA|=|OB|=1
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
Suma y diferencia Producto
senα+sinβ= 2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
senα-sinβ=2cos[(α+β) )/2]sin[(α-β)/ 2]
cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
cosα-cosβ=-2sin[(α+ β)/2]sen[(α-β)/2]
Suma y diferencia integradas
senα·cosβ=( 1/2)[sin(α+β)+ sin(α-β)]
cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]
cosα·cosβ=( 1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinα·sinβ=-(1/2)[cos (α+β)-cos(α-β) ]
Fórmula del ángulo doble
sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)
cos(2α)=cos?α- sin?α=2cos?α-1=1-2sin?α
tan(2α)=2tanα/[1-(tanα)?]
cot(2α)=( cot?α-1)/(2cotα)
sec(2α)=sec?α/(1-tan?α)
csc(2α)=1/2secα·cscα
Fórmula del triple ángulo
sin(3α) = 3sinα-4sin^3α = 4sinα·sin(60°+α)sin( 60°-α)
cos(3α) = 4cos^3α-3cosα = 4cosα·cos(60°+α)cos(60°-α)
tan(3α) = (3tanα-tan^3α)/(1 -3tan?α) = tanαtan(π/3+α)tan(π/3-α)
cuna(3α)=(cuna^3α- 3cotα)/(3cot?α-1)
N veces la fórmula del ángulo
Según la fórmula de Euler (cosθ+isinθ)^n=cosnθ+isinnθ
Utilice la expansión del teorema binomial de la izquierda para ordenar saque las partes real e imaginaria por separado para obtener los siguientes dos conjuntos de fórmulas
sin(nα)=ncos^(n-1)α·sinα-C(n,3)cos ^(n-3) )α·sin^3α+C(n,5)cos^(n-5)α·sin^5α-…
cos
(nα)=cos^nα-C(n,2)cos^(n-2)α·sin^2α+C(n,4)cos^(n-4)α·sin^4α
Fórmula del medio ángulo
sin(α/2)=±√[(1-cosα)/2]
cos(α/2)=±√[(1 +cosα )/2]
tan(α/2)=±√[(1-cosα)/(1+cosα)]=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/ sinα= cscα-cotα
cot(α/2)=±√[(1+cosα)/(1-cosα)]=(1+cosα)/sinα=sinα/(1-cosα) =cscα +cotα
sec(α/2)=±√[(2secα/(secα+1)]
csc(α/2)=±√[(2secα/ (secα -1)]
Fórmula del ángulo auxiliar
Asinα+Bcosα=√A^2+B^2(sinαcosβ+cosαsinβ)=√A^2+B^2sin( α+ β)=√A^2+B^2sin(α+arctanB/A)
Fórmula universal
sina=[2tan(a/2)]/[1+ bronceado? (a/2)]
cosa=[1-bronceado?(a/2)]/[1+bronceado?(a/2)]
tana=[ 2tan( a/2)]/[1-tan?(a/2)]
Fórmula de poder reductor
sin?α=[1-cos(2α)]/2
cos?α=[1+cos(2α)]/2
tan?α=[1-cos(2α)]/[1+cos(2α)]
Suma trigonométrica
sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ
cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ
tan(α+β+γ )= (tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)÷(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)
Serie de potencias
cc1x+ c2x2+...+cnxn+...=∑cnxn (n=0..∞)
cc1(x-a)+c2(x-a)2+...+cn(x-a)n+. ..=∑cn(x-a)n (n=0..∞)
Cada uno de sus términos son funciones potencia de potencias enteras positivas, entre las que c0, c1, c2,...cn.. . y a son constantes, esta serie se llama serie de potencias.
Expansión de Taylor
La expansión de Taylor también se llama método de expansión de series de potencias
f(x)=f(a)+f'(a)/ 1 !*(x-a)+f''(a)/2!*(x-a)2+...+f(n)(a)/n!*(x-a)n+...
Serie de potencias práctica:
e^x = 1+x+x?/2!+x^3/3!+……+x^n/n!+…… (-∞ ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-……+(-1)^(k-1)*(x^k)/k ( |x|<1) sen x = x-x^3/3!+x^5/5!-……+(-1)^(k-1)*(x^(2k - 1))/(2k-1)!+……. (-∞ cos x = 1-x^2/2!+x^4/4!-……+(-1)k*(x^(2k)) /(2k)!+…… (-∞ arcossin x = x + x^3/(2*3) + (1*3)x^5/(2* 4*5) + 1*3*5(x^7)/(2*4*6*7)……+(2k+1)!!*x^(2k+1)/(2k!!*( 2k+1))+……(|x|<1) !!Representa factorial doble arccos x = π -(x + x^3/(2*3) + (1*3) x^5/(2*4*5) + 1*3*5(x^7)/(2*4*6*7)……)(|x|<1) arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 -……(x≤1) sinh x = x+x^3/3!+x^5/5!+… …+(x^(2k-1))/(2k-1)!+…… (-∞ cosh x = 1+x^2/2!+x^ 4/4!+……+(x^(2k))/(2k)!+……(-∞ arcosinh x =x - x^3/(2* 3) + (1*3)x^5/(2*4*5) -1*3*5(x^7)/(2*4*6*7)……(|x|<1) arctanh x = x + x^3/3 + x^5/5 + ……(|x|<1) Al resolver funciones trigonométricas elementales, solo recuerda que las fórmulas se pueden Se utiliza para responder preguntas fácilmente En las competiciones, los métodos combinados con imágenes se utilizan a menudo para encontrar valores de funciones trigonométricas, desigualdades de funciones trigonométricas, áreas, etc.