Función logarítmica
La forma general de la función logarítmica es, que en realidad es la función inversa de la función exponencial. Por lo tanto, las disposiciones para a en funciones exponenciales también se aplican a funciones logarítmicas.
La imagen de la derecha muestra la gráfica de la función representada por diferentes tamaños de a:
Puedes ver que la gráfica de la función logarítmica es solo la gráfica de la función exponencial. sobre la recta y=x Gráficas simétricas porque son funciones inversas entre sí.
(1) El dominio de la función logarítmica es el conjunto de los números reales mayores que 0.
(2) El rango de valores de la función logarítmica es el conjunto de todos los números reales.
(3) La función siempre pasa por (1, 0).
(4) Cuando a es mayor que 1, es una función monótonamente creciente y es convexa hacia arriba; cuando a es menor que 1 y mayor que 0, la función es una función monótonamente decreciente y es cóncava.
(5) Obviamente la función logarítmica es ilimitada.
Función exponencial
La forma general de la función exponencial es. De nuestra discusión anterior sobre la función de potencia, podemos saber que si queremos que x tome el conjunto completo de números reales. como su dominio, entonces solo De modo que
Como se muestra en la figura, los diferentes tamaños de a afectan la gráfica de la función.
Puedes ver:
(1) El dominio de la función exponencial es el conjunto de todos los números reales. La premisa aquí es que a es mayor que 0. Para el caso en el que. a no es mayor que 0, es inevitable. No hay un intervalo continuo en el dominio de la función, por lo que no lo consideraremos.
(2) El rango de valores de la función exponencial es el conjunto de números reales mayores que 0.
(3) Las gráficas de funciones son todas cóncavas.
(4) Si a es mayor que 1, la función exponencial aumenta monótonamente; si a es menor que 1 y mayor que 0, la función exponencial disminuye monótonamente.
(5) Podemos ver una regla obvia, es decir, cuando a va de 0 a infinito (por supuesto no puede ser igual a 0), las curvas de la función se acercan a los puntos positivos de el eje Y y el eje X respectivamente. Las posiciones de las funciones monótonamente decrecientes del semieje tienden a estar cercanas a las posiciones de las funciones monótonas crecientes del semieje positivo del eje Y y la mitad negativa. -eje del eje X respectivamente. La recta horizontal y=1 es una posición de transición de decreciente a creciente.
(6) La función siempre tiende infinitamente al eje X en una dirección determinada y nunca se cruza.
(7) La función siempre pasa por (0, 1).
(8) Obviamente la función exponencial es ilimitada.
Paridad
Nota: (1) es una función impar (2) es una función par
1. Definición
Generalmente, para la función f(x)
(1) Si para cualquier x en el dominio de la función, f(-x)=-f(x) , entonces la función f(x) se llama función impar.
(2) Si f(-x)=f(x) existe para cualquier x en el dominio de la función, entonces la función f(x) se llama función par.
(3) Si f(-x)=-f(x) y f(-x)=f(x) son simultáneamente verdaderas para cualquier x en el dominio de la función, entonces la función f(x ) es a la vez una función impar y una función par, se llama función par e impar.
(4) Si para cualquier x en el dominio de la función, no se pueden establecer ni f(-x)=-f(x) ni f(-x)=f(x), entonces la función f ( x ) no es una función impar ni una función par, se llama función no par ni impar.
Nota: ① Las propiedades pares e impares son las propiedades generales de la función, para todo el dominio de definición.
② El dominio de las funciones pares e impares debe ser simétrico con respecto al origen. Si una función Si el dominio no es simétrico con respecto al origen, entonces la función no debe ser una función par (ni impar).
(Análisis: para determinar la paridad de una función, primero verifique si su dominio es simétrico con respecto al origen, luego simplifíquelo y organícelo estrictamente de acuerdo con la definición de propiedades pares e impares, y luego compárelo con f(x) Sacar una conclusión)
③La base para juzgar o demostrar si una función tiene paridad o no es la definición
2. Características de la gráfica de funciones pares e impares:
Teorema La gráfica de una función impar forma una gráfica centralmente simétrica alrededor del origen, y la gráfica de una función par forma una gráfica simétrica alrededor del eje y o eje.
f(x) es una función impar "==" La imagen de f(x) es simétrica respecto al origen
Punto (x, y) → (-x, - y)
Si una función impar aumenta monótonamente en un intervalo determinado, también aumenta monótonamente en su intervalo simétrico.
Una función par aumenta monótonamente en un intervalo determinado y disminuye monótonamente en su intervalo simétrico.
3.
Operaciones con funciones pares e impares
(1). La suma de dos funciones pares es una función par.
(2) La suma de la suma de dos funciones impares es una función impar.
(3) La suma de una función par y una función impar es una función no impar y no par. función.
(4) . El producto de dos funciones pares es una función par.
(5) . El producto de dos funciones impares es una función par.
(6). El producto de una función par multiplicada por una función impar es una función impar.
Dominio de definición
(Definición de función de la escuela secundaria) Sean A y B. Dos conjuntos de números no vacíos, si de acuerdo con una determinada relación correspondiente f, para cualquier número x en el conjunto A, hay un número único f (x) correspondiente a él en el conjunto B, entonces se llama f: A--B es una función del conjunto A al conjunto B, registrada como y = f (x), x pertenece al conjunto A. Entre ellos, x se llama variable independiente y el rango de valores A de x se llama dominio de la función;
Dominio de valor
Definición de nombre
En la función, debería El rango de valores de una variable se llama rango de valores de la función. En matemáticas, es el conjunto de todos los valores de la variable de respuesta de la función en el dominio de definición.
Métodos comúnmente utilizados para evaluar el dominio
(1) Método de reducción (2) Método de imagen (combinación de números y formas),
(3) Método de monotonicidad de funciones,
p>
(4) Método de combinación, (5) Método de sustitución, (6) Método de función inversa (método inverso), (7) Método discriminante, (8) Método de función compuesta, (9) Método de sustitución trigonométrica, (10 ) Método de desigualdad básica, etc.
Malentendidos sobre los dominios de valores de funciones
El dominio de definición, las reglas correspondientes y el rango de valores son los tres "componentes" básicos de la construcción de funciones. En matemáticas ordinarias, no hay duda de que se implementa el principio de "dominio primero". Sin embargo, todo tiene una naturaleza dual, si bien fortalece la cuestión del dominio de la definición, a menudo se debilita o se habla de ella. La exploración de la cuestión del rango de valores ha resultado en una mano "dura" y una mano "blanda", lo que dificulta la comprensión de los estudiantes. a veces es bueno o malo, de hecho, el dominio de definición y el dominio de valor tienen una posición equivalente y no deben tratarse demasiado, sin mencionar que están en proceso de transformación mutua en cualquier momento (un ejemplo típico). es la transformación mutua del dominio de definición y el dominio de valor de funciones inversas mutuas). Si el rango de la función es un conjunto infinito, entonces no siempre es fácil encontrar el rango de la función. En cambio, confiar en las propiedades operativas de las desigualdades a veces no funciona. También debe combinarse con la paridad, la monotonicidad. acotación y periodicidad de la función Considere los valores de la función. Para obtener la respuesta correcta, desde esta perspectiva, el problema de calcular el dominio es a veces más difícil que el problema de definir el dominio. La práctica ha demostrado que si se fortalecen la investigación y la discusión sobre el método de cálculo del dominio de valor. Será beneficioso para la comprensión de la función intrínseca del dominio, profundizando así la comprensión de la función intrínseca del dominio.
¿Son lo mismo "rango" y "rango"?
"Rango" y "rango" son dos conceptos que encontramos a menudo en nuestros estudios. Muchos estudiantes los confunden a menudo. De hecho, son dos conceptos diferentes.
El "rango" es el conjunto de todos los valores de la función (es decir, cada elemento del conjunto es el valor de esta función), mientras que el "rango" es solo el conjunto de algunos valores que cumplen una determinada condición ( es decir, no necesariamente todos los elementos del conjunto cumplen esta condición). En otras palabras: "rango" es un "rango", pero "rango" no es necesariamente un "rango".