∴∠B=30,
∴∠C=180 -∠A-∠ B=90,
∴a2+b2=c2,c=2b,
∴a2 = C2-B2 =(2b)2-B2 = 3 B2 = B2+2 B2 = B2+BC = b(b+ c)...(2 puntos)
(2) La relación a2=b(b+c) aún se mantiene...(3 puntos)
Prueba: Como se muestra en la figura, extiende BA hasta el punto D, de modo que AD=AC=b, conecta CD...(4 puntos)
△△ACD es un triángulo isósceles,
∴∠ACD=∠D,
∫∠BAC es el ángulo exterior de △ACD,
∴∠BAC=∠D+∠ACD=2∠D ,
∫∠BAC = 2∠B,
∴∠B=∠D,
∴CD=BC=a,∠B=∠ACD,
∴BD=AB+AD=b+c,
∠D es el ángulo común entre △ACD y △CBD.
∴△ ACD ∽△ CBD...(4 puntos)
∴ cdbd = acbc, es decir, ab+c = ba
∴ A2 = B ( B+C)...(6 puntos)
(3) Si △a>b es un triángulo de doble ángulo, de ∠A=2∠B, debería haber a2=b. (b+c ) y a>b.
Cuando a > c > b, sea a=n+1, c=n, b=n-1 (n es un entero positivo mayor que 1 ).
Sustituyendo a2=b(b+c), obtenemos (n+1)2=(n-1)? (2n-1),
Solución: n=5,
∴a=6, b=4, c=5, lo que demuestra que ∠ A = 2 ∠ B en este triángulo
Cuando c > a > b o a > b > c,
No existe un triángulo biangular con tres enteros positivos consecutivos.
∴Se requiere un triángulo con lados de longitud 4, 5 y 6...(8 puntos)