(1) Encuentre el número de puntos cero de la función y=f(x
(2) Sea g(x) = (ax 2+ax)/(f); (x )+√x)+lnx. Si la función g (x) tiene un valor extremo en (0, 1/e), encuentre el rango de valores del número A;
(3) Bajo la condición de (2), para cualquier t ∈(1 , +∞) y S ∈ (0, 1), demuestre: G (T)-G (S) > E+2-1/.
(1) Análisis: ∫ función f (x) = x 3-x-√ x, su dominio es [0, +∞).
F(0)=0, ∴x=0 es un punto cero de y=f(x);
Cuando x > 0, f (x) = x (x 2-1-1/√x),
Supongamos φ(x)= x ^ 2?1?1/√x,
φ' (x) = 2x+1 /(2 √ x 3) > 0, ∴φ(x) aumenta monótonamente en (0, +∞).
∵ φ (1) =-1 < 0, φ (2) = 3-1/√ 2 > 0,
Entonces φ(x) está en (1, 2 ) Hay un punto cero en ,
∴y=f(x) tiene solo dos ceros en el dominio;
(2) Análisis: g(x)=(ax ^ 2+ ax)/(f(x)+√x)+lnx =(ax ^ 2+ax)/(x ^ 3-x)+lnx.
= ax(x+1)/[x(x+1)(x-1)]+lnx = lnx+a/(x-1),
G( x)=lnx+a/(x-1), su dominio es (0, 1)∩(1, +∞).
Entonces g '(x)= 1/x-a/(x-1)2 =[x ^ 2-(2+a)x+1]/[x(x-1)2],
Supongamos h (x) = x 2-(2+a) x+1,
Sea que la función y=g(x) tenga en (0, 1/e) Un valor extremo, entonces h(x)=0 tiene dos raíces diferentes, x1, x2,
∴△ = (2+a) 2-4 > 0, y obtenemos a > 0 o a
Asumimos 0 < x1 < 1/e,
y ∵x1x2=1,
∴0