El concepto de función
(1) El concepto de función
(1) Supongamos que hay dos conjuntos de no vacíos números. Si cualquier número del conjunto tiene un número único correspondiente de acuerdo con ciertas reglas correspondientes, entonces dicha relación correspondiente (incluido el conjunto y la regla correspondiente a) se denomina función del conjunto, registrada como .
②Los tres elementos de una función: dominio de definición, rango de valores y reglas correspondientes.
③Solo dos funciones con el mismo dominio y reglas correspondientes son la misma función.
(2) Concepto y representación de intervalos
① Supongamos que existen dos números reales. El conjunto de números reales que los satisfacen se denomina intervalo cerrado, denotado como; números que satisfacen se llama intervalo abierto. El conjunto de números reales que satisface, o se llama intervalo medio abierto y medio cerrado, se registra como. El conjunto de números reales que satisface se registra como;
Nota: Para conjuntos e intervalos, los primeros pueden ser mayores o iguales que los segundos.
(3) Cuando se busca el dominio de una función, generalmente se siguen los siguientes principios:
① Cuando es una expresión algebraica, el dominio son todos los números reales.
Cuando es una función fraccionaria, su dominio son todos los números reales tales que el denominador no es cero.
③Cuando hay raíces pares, el dominio es el conjunto de los números reales cuando el modelo abierto es no negativo.
④El verdadero valor de la función logarítmica es mayor que cero. Cuando la base de una función logarítmica o exponencial contiene una variable, la base debe ser mayor que cero y no igual a 1.
(5)En,.
⑥La base de una potencia exponente cero (negativa) no puede ser cero.
⑦ Si se trata de una función compuesta por cuatro operaciones aritméticas de un número limitado de funciones elementales básicas, su dominio es generalmente la intersección del dominio de cada función elemental básica.
⑧Para el problema de encontrar el dominio de una función compuesta, los pasos generales son: si se sabe que el dominio es, entonces el dominio de la función compuesta debe resolverse usando desigualdades.
Para funciones con parámetros de letras, encuentre su dominio y analice los parámetros de letras según la situación específica del problema.
⑩El dominio de la función determinado por el problema real no solo debe hacer que la función tenga sentido, sino que también debe ajustarse al significado real del problema.
(4) Encontrar el rango o valor máximo de una función
El método común para encontrar el valor máximo de una función es básicamente el mismo que el método para encontrar el rango de una función. De hecho, si hay un número mínimo (máximo) en el rango de la función, este número es el valor mínimo (máximo) de la función. Por lo tanto, la esencia de encontrar el valor máximo de una función y el rango de valores son la misma, pero el ángulo del cuestionamiento es diferente. Los métodos comunes para encontrar el rango y el valor máximo de una función son:
①Método de observación: para funciones relativamente simples, podemos obtener directamente el rango o el valor máximo mediante la observación.
② Método de coincidencia: convierta la función de resolución en la suma de módulos planos y constantes con variables independientes, y luego determine el rango de valores o el valor máximo de la función en función del rango de valores de las variables.
(3) Método discriminante: Si una función se puede transformar en una ecuación cuadrática con coeficientes, por ser un número real debe existir, determinando así el rango de valores o valor máximo de la función.
④Método de desigualdad: utilice desigualdades básicas para determinar el rango de valores o el valor máximo de la función.
⑤ Método de sustitución: mediante la sustitución de variables, se puede simplificar la complejidad y la dificultad. La sustitución trigonométrica puede transformar el problema de valor máximo de una función algebraica en el problema de valor máximo de una función trigonométrica.
⑥Método de función inversa: utilice la relación recíproca entre el dominio de definición y el rango de valores de la función y su función inversa para determinar el rango de valores o valor máximo de la función.
⑦ Método de combinación de números y formas: utilice imágenes de funciones o métodos geométricos para determinar el rango de valores o el valor máximo de la función.
Método de monotonicidad para funciones.
Representación de funciones
(5) Método de representación de funciones
Hay tres métodos comúnmente utilizados para expresar funciones: método analítico, método de lista y método de imagen.
El método analítico utiliza expresiones matemáticas para expresar la correspondencia entre dos variables. El método de lista utiliza una lista para expresar la correspondencia entre dos variables. El método de imagen utiliza imágenes para expresar la correspondencia entre dos variables.
(6) Concepto de mapeo
(1) Sean suma dos conjuntos. Si cualquier elemento del conjunto tiene un elemento único que le corresponde de acuerdo con ciertas reglas correspondientes, entonces dicha relación correspondiente (incluido el conjunto y la regla correspondiente a) se denomina mapeo del conjunto a, denotado como .
②Dado un mapeo conjunto a conjunto, y.
Si un elemento corresponde a un elemento, entonces decimos que ese elemento es la imagen de ese elemento y ese elemento es la imagen original de ese elemento.
Propiedades básicas de las funciones
Monotonicidad y valor máximo (mínimo)
(1) Monotonicidad de las funciones
①Método de definición y determinación
Funcional
Natural
Definición
Imagen
Método de juicio
Funcional
Monotonicidad
Si los valores de dos variables independientes cualesquiera pertenecientes a un intervalo en el dominio I son x1 y x2, cuando X1
( 1) Definición de utilización
(2) Utilizar la monotonicidad de la función conocida
(3) Usar el gráfico de funciones (en el gráfico de intervalos)
Como creciente para aumentar)
(4) Usar funciones compuestas
Si los valores de dos variables independientes cualesquiera pertenecientes a un intervalo en el dominio I son x1 y x2, cuando X1
(1) Definición de utilización
(2) Utilizar la monotonicidad de funciones conocidas
(3) Usar gráficos de funciones (en gráficos de intervalos)
Si disminuye para disminuir)
(4) Utilice funciones compuestas
②En el dominio público, la suma de dos funciones crecientes es una función creciente, y la suma de dos funciones decrecientes es una función decreciente función, una función creciente menos una función decreciente es una función creciente, y una función decreciente menos una función creciente es una función decreciente.
(3) Para la función compuesta, haga, si es creciente, si es decreciente, es decreciente si es decreciente, es creciente si es decreciente; está disminuyendo, está disminuyendo; si es una disminución, es un aumento, es una disminución.
(2) La imagen y los atributos de la función "verificar"
Aumenta la función de arriba y y resta la función de arriba y.
(3) Definición del valor máximo (mínimo)
① Generalmente, sea el dominio de la función, si existen números reales que satisfagan: (1) para cualquiera; (2) la existencia crea existencia. Luego, lo llamamos el valor máximo de la función, denotado como.
②Generalmente, sea el dominio de la función, si hay números reales que satisfacen: (1) para cualquiera (2) la existencia crea existencia; Luego, lo llamamos valor mínimo de la función, denotado por.
Segundo, paridad
(4) Equivalencia funcional
①Método de definición y determinación
Funcional
Natural
Definición
Imagen
Método de juicio
Funcional
Paridad
p>
Si cualquier x en el dominio de la función f(x) tiene f (-x) =-f(x), entonces la función f(x) se llama función impar.
(1) Utilice la definición (primero debe determinar si el dominio es simétrico con respecto al origen)
(2) Utilice la imagen (la imagen es simétrica con respecto al origen)
Si la función Cualquier x en el dominio de f(x) tiene f (-x) = f(x), entonces la función f(x) se llama función par.
(1) Utilice la definición (primero debe determinar si el dominio de la definición es simétrico con respecto al origen)
(2) Utilice la imagen (la imagen es simétrica con respecto al origen) Eje Y)
② Si la función es una función impar, definida en , entonces .
③Los intervalos de simetría de funciones impares en ambos lados del eje son iguales y los intervalos de simetría de funciones pares en ambos lados del eje son opuestos.
④En el dominio público, la suma (o diferencia) de dos funciones pares (o funciones impares) sigue siendo una función par (o función impar), y el producto de dos funciones pares (o funciones impares) ( (o cociente) es una función par, y el producto (o cociente) de una función par y una función impar es una función impar.
[Conocimientos complementarios] Imágenes funcionales
(1) Dibujos
Dibujo por puntos de seguimiento;
(1) Determinar el dominio funcional ② Resolver funciones analíticamente;
③ Discutir las propiedades de las funciones (paridad y monotonicidad);
Utiliza la transformación de imágenes de funciones básicas para dibujar gráficas;
Es necesario memorizar con precisión funciones lineales, funciones cuadráticas, funciones proporcionales inversas, funciones exponenciales, funciones logarítmicas, funciones de potencia, funciones trigonométricas, etc. La gráfica de una función elemental básica.
①Transformación de traducción
②Transformación de estiramiento
③Transformación de simetría
(2)Mirando el mapa
Por dado En la imagen de una función, uno debe poder estudiar el rango de definición, el rango de valores, la monotonía y la paridad de la función desde los rangos izquierdo y derecho, superior e inferior, las tendencias cambiantes y la simetría de la imagen. relación entre los parámetros de la imagen y la función de resolución.
(3) Utilice gráficos
Las funciones muestran vívidamente la esencia de las funciones, proporcionando una intuición de "forma" para estudiar relaciones cuantitativas. Es una herramienta importante para explorar soluciones a problemas y obtener resultados para ellas. Al resolver problemas, debes prestar atención al método de pensamiento de combinar números y formas.
Varios métodos comunes en el campo de la evaluación
(1) Método de asignación: un método de asignación de funciones común (que se puede convertir en) "función cuadrática", como encontrar una función, puedes convertir a solución.
(2) Método de función básica: algunas funciones compuestas de funciones básicas se pueden resolver usando el rango de valores de la función básica. Por ejemplo, una función se puede resolver usando el rango de valores de la suma de la función.
(3) Método discriminante: evalúa el dominio discriminante a través de las raíces reales de la ecuación cuadrática. Si desea encontrar el rango de una función
Por, si, entonces, es un valor en el rango de la función, si lo es, se obtendrá, entonces, el rango del valor; lo que se busca es
p>(4) Método de constante de separación: a menudo se usa para encontrar el rango de valores de funciones "fraccionarias". Si desea encontrar el alcance de una función, porque
, y, entonces, entonces.
(5) Utilice desigualdades básicas para calcular el dominio de valor, como encontrar el dominio de valor de una función.
Cuando llegue el momento, cuando llegue el momento, si, entonces
Si, entonces, el rango requerido es
(6) Utilice la monotonicidad de la función para encontrar el dominio de evaluación, como encontrar el rango de una función.
Por lo tanto, la función disminuye, aumenta, disminuye y aumenta, de modo que el rango requerido se puede obtener de la siguiente manera
(7) Método de imagen: si la imagen de la función es Fácil de hacer, se puede obtener de acuerdo con La imagen encuentra intuitivamente el rango de valores de la función (este método se usa a menudo para encontrar el rango de valores de algunas funciones por partes).
Conceptos de funciones y mapeo