El método para dividir un bucle en fracciones se puede derivar moviendo los segmentos del bucle o se puede calcular utilizando la fórmula de suma de secuencia proporcional recursiva infinita. A continuación utilizamos el método de verificación de conjeturas para deducir.
(1) Convertir decimales recurrentes puros en fracciones
Como todos sabemos, una fracción finita se puede dividir en fracciones cuyas madres sean 10, 100, 1000... Entonces, decimal recurrente puro ¿A qué tipo de denominador se puede reducir? Comencemos con un decimal recurrente simple de un dígito. Por ejemplo, @ ①, @ ②... cuando se dividen en números componentes, ¿cómo se pueden escribir sus denominadores?
Piénsalo: ¿podrían ser 10? De ninguna manera. Porque 1/10 = 0.1 < @ ①, 3/10 = 0.3 > @ ②; De ninguna manera. Porque 1/8 = 0.125 > @ ①, 3/8 = 0.375 > @ ②; Como 1/10 < @ ① < 1/8 y 3/10 < @ ② < 3/8, la madre puede tener 9. Probemos nuestra conjetura: 1/9 = 1÷9 = 0.111...= @ ①;3/9=1/3=1÷3=0.333...= @②.
Los resultados del cálculo muestran que nuestra suposición es correcta. Entonces, ¿se puede escribir un decimal recurrente puro en el que todos los segmentos recurrentes son de un dígito como una fracción con un denominador de 9? Convirtamos @ ③ y @ ④ en componentes según nuestra suposición, y luego verifíquelos.
@ ③ = 4/9 Verificación: 4/9 = 4÷ 9 = 0.444...
@ ④ = 6/9 = 2/3 Verificación: 2/3 = 2 ÷ 3 = 0.666...
Después de la conjetura y verificación anterior, podemos sacar la siguiente conclusión: Cuando un segmento cíclico es un componente fraccionario cíclico puro de un número, el número compuesto por el segmento cíclico es el numerador, 9 es el denominador, entonces, si puedes cortarlo, entonces córtalo;
¿Cómo convertir un decimal periódico puro con un segmento periódico de dos dígitos en un número? Por ejemplo, @ ⑤, @ ⑤... ¿cuánto se puede escribir en sus denominadores?
Piénsalo: ¿podrían ser 100? De ninguna manera. Porque 12/100 = 0,12 < @⑤, 13/100 = 0,13 < @⑤. ¿Podría ser 98? De ninguna manera. Porque 12/98 ≈ 0.1224 > @ ⑤, 13/98 ≈ 0.1327 > @ ⑤; Como 12/100÷@⑤÷12/98, 13/100÷@⑤13/98, el denominador puede ser 99. Queda por verificar si es correcto.
12/99=12÷99=0.121212……=@⑤;
13/99=13÷99=0.131313……=@⑥.
Los resultados de la verificación muestran que nuestra suposición es correcta. Entonces, ¿se pueden escribir los decimales recurrentes puros de dos dígitos en el segmento cíclico como fracciones con un denominador de 99? Usemos el método de adivinanza nuevamente para dividir @ ⑦ y @ ⑧ en componentes y verificar.
@ ⑦ = 15/99 = 5/33, cálculo: 5/33 = 5÷33 = 0,151515...
@⑧= 18/99 = 2/11, Cálculo: 2/11 = 2÷11 = 0,18655.
Después de esta conjetura y verificación, podemos sacar la siguiente conclusión: cuando el segmento cíclico es un número de dos dígitos de componentes de fracción cíclica pura, se utiliza un número compuesto por una cadena cíclica como numerador y 99 como el denominador; luego, si puedes, córtalo hasta cierto punto.
¿Existe ahora una manera de inferir que el segmento cíclico es un decimal recurrente puro de tres dígitos?
Porque cuando el segmento del bucle es una parte decimal cíclica pura de un dígito, se utiliza 9 como denominador, y cuando el segmento del bucle es una parte decimal cíclica pura de dos dígitos, se utiliza 99 como denominador Entonces, cuando el segmento de bucle es una parte decimal cíclica pura de un número de tres dígitos, suponemos que se usa 999 como denominador y que el numerador también es un número compuesto de segmentos cíclicos. Comprobemos de nuevo. Si esta conjetura es correcta, entonces podemos avanzar a la inversa.
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El experimento demostró que nuestra suposición era completamente correcta. En consecuencia, cuando el segmento cíclico sea un componente decimal cíclico puro de cuatro dígitos, se utilizará 9999 como denominador.
La práctica ha demostrado que es correcto. Por lo tanto, el método para determinar el número de decimales de los componentes en un bucle puro es:
Utilice números como 9, 99, 999... como denominador, y el número de 9 es el igual que el número de dígitos en el segmento del bucle; utilice el número de nodos del anillo como numerador; proporcione el número final de puntos que se pueden reducir.
En segundo lugar, convierta decimales recurrentes mixtos en fracciones.
Usamos el método de verificación de conjeturas para estudiar cómo convertir un decimal recurrente puro en una fracción, y luego usamos este método para estudiar cómo convertir un decimal recurrente mixto en una fracción.
O comience con un número simple, por ejemplo:
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.....Cuando solo hay un bit mezclado en este bucle segmento Cuando un decimal recurrente se convierte en una fracción, ¿cuáles son las características del numerador y el denominador?
Piénselo de esta manera: un decimal recurrente mixto tiene una parte cíclica y una parte no cíclica. ¿Se puede reescribir como la suma de un decimal recurrente puro y un decimal finito y luego convertirlo en un número componente? Intentémoslo.
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Observando el proceso anterior, ¿puedes ver las características de los decimales recurrentes mixtos con un solo dígito en la sección del bucle? Es fácil ver que sus denominadores son todos números compuestos por un 9 y varios 0. Si miras de cerca, puedes ver que el número de ceros es exactamente el mismo que el número de partes acíclicas. ¿Cuáles son las características de sus moléculas? No es difícil ver que sus moléculas son más pequeñas que el número formado por la parte acíclica y el primer nodo del anillo. ¿Cuánto más pequeño es? Calculemos:
(1)21-19=2 (2)543-489=54 (3)696-627=69
Mirando con atención, no es difícil ver la molécula El número que consta de la parte acíclica es menor que el número que consta de la parte acíclica y el primer nodo del anillo. ¿Es esta regla universal? Usemos las reglas anteriores para colocar el número del componente
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y verificar su corrección.
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Verificación: 352/1125 = 352÷1125 = 0.312888...
El resultado de la verificación es completamente correcto. La parte recurrente es entonces una fracción formada a partir de decimales recurrentes mixtos de dos dígitos. ¿El numerador y el denominador tienen las mismas reglas? El numerador es un número que consta de una parte acíclica menos que el número que consta de la parte acíclica y la primera parte cíclica del decimal; el denominador es un número compuesto por 9 y 0. El número de ceros es el mismo que el número de partes no cíclicas y el número de nueves es el mismo que el número de partes cíclicas. Adivinemos.
Adjunta una imagen (imagen)
Divídela en varias partes y luego verifícala.
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La práctica ha demostrado que nuestra suposición es correcta. Entonces, puedes mezclar decimales recurrentes, y ya sea que el segmento recurrente sea de tres o cuatro dígitos..., ¿también puedes dividir fracciones como esta? Pongamos el número de pieza del
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y verifíquelo nuevamente.
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Los resultados de la verificación también son correctos, lo que indica que nuestra suposición puede ser correcta. Este enfoque es realmente correcto. Por supuesto, cuando utilizamos el método de adivinar y verificar, es posible que no siempre acertemos. Si es incorrecto, debe modificarse de acuerdo con la situación específica y luego verificarse hasta que sea correcto.
El método de verificación de conjeturas es una forma importante para que los humanos exploren lo desconocido. Muchas leyes científicas se descubren mediante conjeturas y luego se verifican, conjeturan y verifican constantemente. La verificación de conjeturas también es un método importante de pensamiento matemático. No sólo es necesario explicar conocimientos concretos a los alumnos, sino también dejarles aprender a utilizar esta forma de pensar desde una edad temprana.
Notas sobre palabras no almacenadas en la fuente:
@ ①Palabra original 0,1, más 1.
@ ②La palabra original es 0.3, suma 3.
@ ③La palabra original es 0.4, suma 4.
@ ④La palabra original es 0.6, suma 6.
@ ⑤La palabra original es 0.12, suma 12.
@ ⑥La palabra original es 0.13, suma 13.
@ ⑦La palabra original es 0,15, suma 15.
@ ⑧La palabra original es 0,18, más 18.