El examen de ingreso para graduados de la Academia China de Ciencias tiene Nivel A y Nivel B, siendo el Nivel A el que tiene los requisitos más altos.
Examen de ingreso de posgrado de la Academia China de Ciencias de la Escuela de Graduados
Esquema del examen de Matemáticas Avanzadas (I)
Primero, la naturaleza del examen
Escuela de Graduados de la Academia de Ciencias de China El examen de posgrado de Matemáticas Avanzadas (A) es un examen selectivo para reclutar estudiantes de posgrado con especialización en ciencias y no matemáticas. Su objetivo principal es evaluar las cualidades matemáticas de los estudiantes, incluido su dominio de diversos contenidos de matemáticas avanzadas y su capacidad para aplicar conocimientos relevantes para resolver problemas. Los sujetos de prueba son aquellos que rinden el Examen Nacional de Ingreso a la Maestría y postulan a física teórica, física atómica y molecular, física de partículas y física nuclear, física del plasma, física de la materia condensada, astrofísica, astrometría y mecánica celeste, física espacial, óptica y electrónica física, microelectrónica y electrónica de estado sólido, campo electromagnético y tecnología de microondas, oceanografía física, geología marina, climatología y otras especialidades.
2. Requisitos básicos para el examen
Los candidatos deben comprender sistemáticamente los conceptos y teorías básicos de las matemáticas avanzadas y dominar los métodos básicos de las matemáticas avanzadas. Se requiere que los candidatos tengan capacidad de pensamiento abstracto, capacidad de razonamiento lógico, capacidad de imaginación espacial, capacidad de operación matemática y la capacidad de utilizar de manera integral el conocimiento que han aprendido para analizar y resolver problemas.
3. Método y tiempo del examen
El examen de Matemáticas Avanzadas (A) toma la forma de un examen escrito a libro cerrado, con una puntuación total de 150 y un tiempo de examen de 180. minutos.
Cuatro. Contenido y requisitos del examen
(1) Funciones, límites y continuidad
Contenido del examen
Concepto y representación de funciones acotadas y monotonicidad de funciones, periodicidad y paridad; ; propiedades y gráficas de funciones elementales básicas de funciones compuestas, funciones inversas, funciones por partes y funciones implícitas.
Los conceptos de límites de secuencia y límites de función, los conceptos de infinitesimales e infinitesimales y sus relaciones, las propiedades de los infinitesimales y los cuatro límites operativos de los infinitesimales son el método de discriminación acotada monótona y el método de discriminación de punto de pellizco. Dos funciones límite importantes son continuas. El concepto de continuidad uniforme de funciones de propiedad en intervalos cerrados de tipos de discontinuidades de funciones elementales.
Requisitos del examen
1. Comprender el concepto de funciones, dominar la representación de funciones y establecer relaciones funcionales en preguntas de aplicación sencillas.
2.Comprender la acotación, la monotonicidad, la periodicidad y la impar-paridad de funciones. Dominar los métodos para juzgar estas propiedades de las funciones.
3.Comprender el concepto de funciones compuestas y los conceptos de funciones inversas y funciones implícitas. Puede encontrar funciones compuestas y funciones inversas de funciones dadas.
4. Dominar las propiedades y gráficas de funciones elementales básicas.
5.Comprender el concepto de límites, los conceptos de límites izquierdo y derecho de funciones, y la relación entre la existencia de límites de funciones y los límites izquierdo y derecho.
6. Dominar las propiedades de los límites y cuatro algoritmos, y utilizarlos para realizar algunos juicios y cálculos básicos.
7. Dominar los dos criterios de existencia de límites y utilizarlos para encontrar límites. Domina el método de encontrar límites utilizando dos límites importantes.
8. Comprender los conceptos de infinitesimales e infinitos, dominar el método de comparación de infinitesimales y utilizar infinitesimales equivalentes para encontrar límites.
9.Comprender el concepto de continuidad de función (incluyendo continuidad por izquierda y continuidad por derecha), y ser capaz de distinguir los tipos de puntos de discontinuidad de función.
10. Dominar las propiedades operativas de funciones continuas y la continuidad de funciones elementales, estar familiarizado con las propiedades de funciones continuas en intervalos cerrados (limitación, teorema del valor máximo, teorema del valor medio, etc.), y aplicar estas propiedades.
11.Comprender el concepto de funciones consistentes y continuas.
(B) Cálculo diferencial de funciones de una variable
Contenido del examen
El concepto de derivadas La relación entre los significados geométricos y físicos de las derivadas La diferenciabilidad y Continuidad de funciones Cuatro operaciones aritméticas de derivadas de tangentes sexuales y normales Funciones elementales básicas de curvas planas Derivación de funciones compuestas, funciones inversas y funciones implícitas Derivación de funciones determinadas por ecuaciones paramétricas Conceptos de derivación de orden superior Conceptos y diferenciación de orden superior derivación El significado geométrico de la diferenciabilidad y la relación diferencial entre diferenciabilidad. El algoritmo de funciones diferenciales y la aplicación de diferenciales invariantes en forma de diferenciales de primer orden en cálculos aproximados. La ley de L'Hôpital (Taylor). valores de funciones Valor, concavidad y convexidad de gráficas de funciones monótonas, puntos de inflexión y gráficas de funciones asíntotas, diferencial de arco y cálculo de curvatura.
Requisitos del examen
1. Comprender los conceptos de derivadas y diferenciales, comprender la relación entre derivadas y diferenciales, comprender el significado geométrico de las derivadas, encontrar las ecuaciones tangentes y las ecuaciones normales del plano. curvas y comprender el significado físico de las derivadas, usar derivadas para describir algunas cantidades físicas y dominar la relación entre la diferenciabilidad y la continuidad de funciones.
2. Dominar los cuatro algoritmos de derivadas y las reglas de derivación de funciones compuestas, y dominar las fórmulas de derivación de funciones elementales básicas. Una vez que conozcas los cuatro algoritmos de diferenciación y la invariancia de la forma diferencial de primer orden, podrás encontrar el diferencial de la función.
3. Si comprendes el concepto de derivadas de orden superior, encontrarás la derivada de orden n de una función simple.
4. Encuentra la primera y segunda derivada de la función por partes.
5. Encontrar la primera y segunda derivada de funciones implícitas y funciones determinadas por ecuaciones paramétricas.
6. Encuentra la derivada de la función inversa.
7.Comprender y aplicar el teorema de Rolle, el teorema del valor medio de Lagrange, el teorema del valor medio de Cauchy y el teorema de Taylor.
8. Comprender el concepto de valor extremo de una función, dominar el método para juzgar la monotonicidad de una función y utilizar derivadas para encontrar el valor extremo de una función, dominar el método para encontrar el máximo y Valor mínimo de una función y su aplicación sencilla.
9. Podemos usar derivadas para juzgar la concavidad y convexidad del gráfico de la función, encontrar los puntos de inflexión y las asíntotas horizontales, verticales y oblicuas del gráfico de la función y describir el gráfico de la función.
10. Dominar el método de encontrar el límite de fórmulas indeterminadas utilizando la ley de L'Obita.
11.Comprender los conceptos de curvatura y radio de curvatura, y calcular curvatura y radio de curvatura.
(3) Integral de funciones de una variable
Contenido del examen
Los conceptos de funciones primitivas e integrales indefinidas, las propiedades básicas de las integrales indefinidas, los conceptos y propiedades básicas de fórmulas integrales definidas El teorema del valor medio de integrales definidas, funciones definidas por límites superiores variables de integrales y sus derivadas, fórmulas de Newton-Leibniz, integrales por sustitución de integrales indefinidas y definidas e integrales por partes, fórmulas racionales de funciones racionales y funciones trigonométricas, y aplicaciones de integrales Integrales generalizadas (integrales infinitas, integrales deficitarias) e integrales definidas de funciones irracionales simples.
Requisitos del examen
1. Comprender el concepto de función original y los conceptos de integral indefinida e integral definida.
2. Dominar las fórmulas básicas de las integrales indefinidas, las propiedades de las integrales indefinidas y de las integrales definidas, y el teorema del valor medio de las integrales definidas. Domina la fórmula de Newton-Leibniz. Competente en integrales indefinidas, integrales definidas, integrales por partes e integrales por sustitución.
3. Ser capaz de encontrar integrales de funciones racionales, fórmulas racionales de funciones trigonométricas y funciones irracionales simples.
4. Comprender la función definida por la integral de límite superior variable y encontrar su derivada.
5. Comprender el concepto de integrales generalizadas (integrales infinitas e integrales con pérdida), dominar los métodos de juicio de convergencia de integrales infinitas e integrales con pérdida y calcular algunas integrales generalizadas simples.
6. Dominar algunas cantidades geométricas y físicas (el área de una figura plana, la longitud del arco de una curva plana, el volumen y área lateral de un cuerpo en rotación, el área de la sección transversal). de un volumen, trabajo, gravedad y presión tridimensionales conocidos) y El valor promedio de una función se expresa y calcula utilizando integrales definidas.
(D) Álgebra vectorial y geometría analítica espacial
Contenido del examen
El concepto de vectores, operaciones lineales de vectores, producto vectorial, producto cruzado y producto mixto vertical La condición de paralelismo; el vector angular de dos vectores y el número de dirección y la dirección del vector unitario de operación los conceptos de ecuaciones de superficie coseno y ecuaciones de curva espacial, ecuaciones de línea recta, plano a plano, plano a línea recta; , ángulo entre línea recta y paralelismo, la distancia entre el punto de condición vertical y el plano y la ecuación de la superficie de rotación con la generatriz esférica paralela al eje de coordenadas y el eje de rotación del cilindro como eje de coordenadas; ecuaciones cuadráticas y sus ecuaciones paramétricas y ecuaciones generales para curvas espaciales gráficas La ecuación de la curva de proyección de una curva espacial en el plano de coordenadas.
Requisitos del examen
1. Familiarizarse con el sistema de coordenadas espaciales rectangulares y comprender los conceptos de vectores y sus módulos.
2. Familiarizarse con las operaciones vectoriales (operaciones lineales, productos cuantitativos, productos cruzados) y dominar las condiciones para que dos vectores sean verticales y paralelos.
3.Comprender la proyección de vectores sobre el eje, y comprender el teorema de proyección y las operaciones de proyección. Comprender las expresiones de coordenadas de números directores, cosenos directores y vectores, y utilizar expresiones de coordenadas para calcular vectores.
4. Estar familiarizado con diversas formas de ecuaciones planas y ecuaciones lineales espaciales, y ser competente en la resolución de ecuaciones planas y ecuaciones lineales espaciales.
5. Ser capaz de encontrar planos, planos y rectas, y ángulos entre rectas, y utilizar la relación entre planos y rectas (paralela, perpendicular, intersección, etc.) para resolver problemas relacionados.
6. Ser capaz de encontrar la distancia entre dos puntos en el espacio, la distancia de un punto a una recta y la distancia de un punto a un plano.
7.Comprender los conceptos de ecuaciones de curvas espaciales y ecuaciones de superficies.
8.Comprender las ecuaciones paramétricas y ecuaciones generales de curvas espaciales. Comprender la proyección de curvas espaciales en el plano coordenado y encontrar su ecuación.
9. Comprenda las ecuaciones, gráficos y secciones de superficies cuadráticas de uso común, y podrá encontrar la ecuación cilíndrica de la superficie de rotación con el eje de coordenadas como eje de rotación y la barra colectora paralela al eje de coordenadas.
(5) Cálculo diferencial de funciones multivariadas
Contenidos de la prueba
El concepto de funciones multivariadas, el significado geométrico de funciones binarias, el límite de funciones binarias y continuidad multivariante Propiedades de funciones en regiones cerradas acotadas continuas, conceptos de derivadas parciales y diferenciales totales de funciones multivariadas y condiciones necesarias y suficientes para la existencia de diferenciales completos de funciones compuestas multivariadas, derivación de funciones implícitas de derivadas parciales de orden superior; método de suma de curvas espaciales, derivadas tangenciales y derivadas normales a superficies planas; fórmula de Taylor para valores extremos de funciones binarias de gradiente y extremos condicionales de funciones multivariadas; método multiplicador de Lagrange; Aplicaciones del cálculo diferencial total a cálculos aproximados.
Requisitos del examen
1. Comprender el concepto de funciones multivariadas y el significado geométrico de las funciones binarias.
2. Comprender los conceptos de límite y continuidad de funciones binarias y sus propiedades operativas básicas. La relación entre límites repetidos y límites de funciones binarias determinará la existencia y continuidad de los límites de funciones binarias en puntos conocidos. , comprender las propiedades de funciones continuas en regiones cerradas acotadas.
3. Comprender los conceptos de derivadas parciales y diferenciales totales de funciones multivariadas, comprender la relación entre diferenciabilidad, existencia y continuidad de funciones binarias, encontrar derivadas parciales y diferenciales totales, y comprender la relación entre funciones binarias. las condiciones para la igualdad de dos derivadas parciales mixtas, comprender las condiciones necesarias y suficientes para la existencia de diferenciales totales y comprender la invariancia de las formas diferenciales totales.
4. Dominar la solución de derivadas parciales de funciones compuestas multivariantes.
5. Dominar las reglas de derivación de funciones implícitas.
6.Comprender los conceptos de derivadas direccionales y gradientes, y dominar sus métodos de cálculo.
7.Comprender los conceptos de rectas tangentes y planos normales de curvas y de rectas tangentes y planos normales de superficies curvas, y encontrar sus ecuaciones.
8. Comprender la fórmula de Taylor de segundo orden de funciones binarias.
9. Comprender los conceptos de valores extremos y valores extremos condicionales de funciones multivariadas, dominar las condiciones necesarias para los valores extremos de funciones multivariadas, comprender las condiciones suficientes para los valores extremos. de funciones binarias y encuentre los valores extremos de funciones binarias usando lager. El método del multiplicador de Lange encuentra valores extremos condicionales, encuentra los valores máximos y mínimos de funciones multivariadas simples y resuelve algunos problemas de aplicación simples.
10.Comprender la aplicación del cálculo diferencial total en cálculos aproximados
(6) Cálculo integral de funciones multivariadas
Contenido de la prueba
Doble Los conceptos y propiedades de integrales e integrales triples, el cálculo y aplicación de integrales dobles e integrales triples, los conceptos, propiedades y cálculos de la relación entre dos tipos de integrales de curva, la fórmula de Green, las condiciones para que las integrales de curva plana sean independientes de trayectorias, se conocen los conceptos de dos tipos de integrales de superficie y propiedades, el cálculo de los dos tipos de relaciones integrales de superficie, y los conceptos de fórmula de Gauss, fórmula de Stokes, divergencia y curvatura, y las aplicaciones del cálculo de integrales de curva y También se conocen integrales de superficie.
Requisitos del examen
1. Comprender los conceptos de integrales dobles e integrales triples, y dominar las propiedades de las integrales dobles.
2. Estar familiarizado con los métodos de cálculo de integrales dobles (coordenadas rectangulares, coordenadas polares), ser capaz de calcular integrales triples (coordenadas rectangulares, coordenadas cilíndricas, coordenadas esféricas) y dominar el método de sustitución de integrales dobles. integrales.
3.Comprender los conceptos, propiedades y relaciones de dos tipos de integrales de curvas. Competente en el cálculo de dos tipos de integrales de curvas.
4. Dominar la fórmula de Green y poder utilizarla para calcular integrales de curvas. Domine las condiciones para integrales independientes de la trayectoria de curvas planas. Puede encontrar la función original del diferencial total.
5.Comprender los conceptos, propiedades y relaciones de los dos tipos de integrales de superficie. Dominar los métodos de cálculo de dos tipos de integrales de superficie.
6. Domina la fórmula de Gauss y la fórmula de Stokes, y úsalas para calcular la integral de superficie y la integral de curva.
7. Introdujo y calculó los conceptos de disolución y rizo.
8. Comprender integrales con parámetros y fórmula de Leibniz.
9. Podemos utilizar integrales múltiples, integrales de curvas e integrales de superficie para encontrar algunas cantidades físicas geométricas (área de figuras planas, área de superficies curvas, volumen de objetos, longitud de arco de curvas). , masa, centro de gravedad, momento de inercia, gravedad, trabajo de los objetos, flujo, etc.
).
(7) Series infinitas
Contenido del examen
Series constantes y sus conceptos de convergencia y divergencia Series convergentes y conceptos básicos de convergencia de series conceptuales Propiedades y necesarias condiciones; la convergencia de series geométricas y series P y la discriminación de series positivas convergentes: la convergencia absoluta y la convergencia condicional de series escalonadas y el teorema de Leibniz: el dominio de convergencia de series de funciones y funciones El concepto de serie de potencias y su radio de convergencia: las propiedades básicas del intervalo de convergencia (refiriéndose al intervalo abierto) y la serie de potencias del dominio de convergencia dentro del intervalo de convergencia la solución de series de potencias y funciones simples: la serie de potencias de funciones elementales de la serie de Taylor Aplicación de la expansión en cálculos aproximados: Fourier; coeficientes de funciones y teorema de Dirichlet de series de Fourier: series de senos y series de cosenos de funciones de series de Fourier en [-l, l]. Convergencia uniforme de series de términos funcionales.
Requisitos del examen
1. Comprender los conceptos de convergencia y divergencia de series convergentes de términos constantes y dominar las propiedades básicas de las series y las condiciones necesarias para la convergencia.
2. Dominar la convergencia y divergencia de series geométricas y series P.
3. Dominar varios métodos para juzgar la convergencia y divergencia de series positivas.
4. El criterio de series al tresbolillo del maestro Leibniz.
5.Comprender los conceptos de convergencia absoluta y convergencia condicional de cualquier serie, así como la relación entre convergencia absoluta y convergencia condicional.
6. Comprender la región de convergencia de series de términos de funciones y el concepto de función de suma.
7. Comprender los conceptos de región de convergencia de series de potencias y radio de convergencia, y dominar la solución de radio de convergencia de series de potencias y región de convergencia.
8. Conociendo algunas propiedades básicas de las series de potencias en su intervalo de convergencia (continuidad de funciones de suma, diferenciación término por término, integración término por término), encontraremos algunas series de potencias en su convergencia. intervalo. La función de suma dentro del intervalo de convergencia y luego encontrar la suma de algunas secuencias.
9.Comprender las condiciones necesarias y suficientes para la expansión de funciones en series de Taylor.
10. Domine las expansiones de Maclaurin de algunas funciones comunes como ex, sin x, cos x, ln(1+x) y (1+x)α, y utilícelas para expandir indirectamente algunas funciones simples. en la serie Power.
11. Para el cálculo aproximado se utilizará el desarrollo en serie de potencias de la función.
12. Comprender el concepto de serie de Fourier y el teorema de Dirichlet, expandir la función definida en [-l, l] en una serie de Fourier y expandir la función definida en [0, l] Se convierte en un seno. serie y una serie de cosenos, y una función con un período de 2l se expande a una serie de Fourier.
13. Conociendo la convergencia consistente de la serie de términos de función y sus propiedades, podemos juzgar la convergencia consistente de la serie de términos de función.
(8) Ecuaciones diferenciales ordinarias
Contenido del examen
Conceptos básicos de ecuaciones diferenciales ordinarias Ecuaciones diferenciales homogéneas Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden Ecuaciones de Bernoulli Ecuaciones diferenciales totales Ecuaciones Algunas ecuaciones diferenciales que se pueden resolver mediante sustitución de variables simples. Propiedades y estructura de soluciones de ecuaciones diferenciales lineales de orden superior. Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes. Las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas con coeficientes constantes son más altas que otras ecuaciones diferenciales. Algunas ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes, ecuaciones de Euler, soluciones en series de potencias a ecuaciones diferenciales, soluciones simples a ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes, ecuaciones diferenciales aplicadas simples
Requisitos del examen
1. Dominar las ecuaciones diferenciales y los conceptos de sus órdenes, soluciones, soluciones generales, condiciones iniciales y soluciones especiales.
2. Ser competente en la resolución de ecuaciones diferenciales con variables separables y el método de variación constante para la resolución de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden.
3. Puedo resolver ecuaciones diferenciales homogéneas, ecuaciones de Bernoulli, ecuaciones diferenciales totales y resolver algunas ecuaciones diferenciales usando variables simples.
4. Las siguientes ecuaciones se resolverán mediante el método de reducción: y(n)=f(x), y"= f(x, y'), y" = f(y, y' ).
5.Comprender las propiedades de las soluciones de ecuaciones diferenciales lineales y los teoremas de estructura de las soluciones. Comprender el método de variación constante para resolver ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas de segundo orden.
6.Dominar la solución de ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes, y ser capaz de resolver algunas ecuaciones diferenciales lineales homogéneas con coeficientes constantes superiores a segundo orden.
7. Saber utilizar polinomios, funciones exponenciales, funciones seno, funciones coseno y sus sumas y productos para resolver ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes.
8. Puede resolver la ecuación de Euler.
9.Entender la solución en series de potencias de ecuaciones diferenciales.
10.Comprender la solución de ecuaciones diferenciales lineales simples con coeficientes constantes.
11 Utilizará ecuaciones diferenciales para resolver algunos problemas de aplicación sencillos.
Referencias principales de verbos (abreviatura de verbo)
"Matemáticas Avanzadas" (Volumen 1 y 2), compilado por la Oficina de Investigación y Enseñanza de Matemáticas de la Universidad de Tongji, Higher Education Press, cuarta edición, 1996, cualquier versión posterior servirá.
Compilado por: Escuela de Graduados de la Academia de Ciencias de China.
Fecha de compilación: 1 de julio de 2011.