La geometría de Riemann es una geometría no euclidiana, y las líneas paralelas en geometría no euclidiana también pueden cruzarse. La geometría que habitualmente aprendemos es la geometría euclidiana, que se basa en los cinco principios propuestos por Euclides. Y el quinto no puede probarlo con hechos. Entonces existe una geometría no euclidiana.
Una regla básica en la geometría riemanniana es que dos rectas cualesquiera en un mismo plano tienen un punto común (intersección). En la geometría de Riemann no se reconoce la existencia de líneas paralelas. Otro postulado de la misma dice que las líneas rectas pueden extenderse infinitamente, pero su longitud total es finita. El modelo de geometría de Riemann es una esfera adecuadamente "modificada".
La geometría euclidiana, la geometría de Roche y la geometría de Riemann son tres geometrías diferentes. Todas las proposiciones de estas tres geometrías constituyen un estricto sistema de axiomas, y los axiomas cumplen con los requisitos de armonía, integridad e independencia. Entonces estas tres geometrías son todas correctas.
Datos ampliados
El ámbito de aplicación de la geometría euclidiana y la geometría no euclidiana
La geometría euclidiana estudia principalmente la suma geométrica de estructuras planas Geometría sólida y no La geometría euclidiana estudia superficies irregulares. La geometría euclidiana se puede utilizar para estudiar geometría en un plano, es decir, geometría plana.
El estudio de la geometría euclidiana en el espacio tridimensional suele denominarse geometría sólida. La geometría no euclidiana es adecuada para estudiar el espacio abstracto, es decir, formas espaciales más generales, lo que lleva el desarrollo de la geometría a una nueva etapa caracterizada por la abstracción. La geometría no euclidiana también se aplica a la teoría general de la relatividad de Einstein.