Teorema del intervalo cerrado

Teorema del conjunto de intervalos: supongamos que una secuencia de intervalos cerrados infinitos {[a(n), b(n)]} es adecuada para las dos condiciones siguientes: (1) el último intervalo está dentro del intervalo anterior, es decir, para cualquier entero positivo n, hay a(n)<=a(n+1)infinito, la longitud del columna de intervalo {( La secuencia formada por b(n)-a(n))} converge a cero, luego las dos secuencias {a(n)} y {b(n)} formadas por los puntos finales del intervalo convergen a el mismo límite $, y $ es el único punto común para todos los intervalos.

El teorema del intervalo cerrado generalmente se usa junto con el "método de dicotomía", es decir, el intervalo [a, b] se divide en dos desde el punto medio. Generalmente, solo hay un intervalo en el. dos intervalos obtenidos tienen ciertas propiedades (relacionadas con el problema específico que queremos probar), divida este intervalo [a1, b1] que cumple con los requisitos en dos mitades, y luego encuentre el intervalo pequeño [a2] que nos interesa (. tiene ciertas propiedades), b2].

Y así sucesivamente, de modo que cada vez que lo dividimos, la longitud del intervalo que encontramos se convierte en la mitad del original. La longitud del intervalo obtenido por enésima vez es (b-a)/2^. n, entonces cuando n tiende a ∞, la longitud del intervalo tiende a 0, por lo que obtenemos un conjunto de intervalos cerrados [ai, bi] y lim(bn-an)=0, que satisface las condiciones del teorema del conjunto de intervalos cerrados.

Por lo tanto, existe un número real único ξ=liman=limbn, por lo que "transferimos" las propiedades del pequeño intervalo [ai, bi] encontrado cada vez al número real ξ, y este paso está usando exactamente La clave para demostrar el teorema del intervalo cerrado.