Si la función y = f (x) es como una curva continua en el intervalo [a, b], y f (a) f (b) es del orden 0 p>
E={x|f(x)≤0, x∈[a, b]}.
De f (a) < 0, sabemos que e ≠ φ, b es un límite superior de e, por lo que de acuerdo con el principio de existencia de supremacía,
Existe ξ= supE∈[a, b].
Supongamos f(ξ)=0 (tenga en cuenta que F (a) ≠ 0, F (b) ≠ 0, por lo que debe haber ξ∈(a, b).) De hecho,
(I) Si f (ξ)
tiene δ>0, para x 1∑(ζ,ζ δ): f(x)
tiene δ>0 , Para x 1∑(ξ-δ,ξ): f(x)>0→hay un límite superior, donde x1 es e, X1
Esto es inconsistente con que el límite superior mínimo de supE sea e, es decir, f(ξ)=0.
El significado de este teorema:
(1) La imagen de una función en el intervalo [a, b] es continua y el símbolo de su valor de función al final de el intervalo [a, b] es diferente, por lo que la función debe tener un punto cero en [a, b].
(2) Si el valor de la función es continuo dentro del intervalo [a, b] y tiene puntos cero, los valores de la función en los extremos del intervalo [a, b] pueden ser diferentes o pueden tiene el mismo signo.
(3) El teorema solo puede determinar la existencia de puntos cero, pero no puede determinar el número de puntos cero.