Avanzando en el problema "a+b"
En 1920, Noruega Brown demostró "9+9".
En 1924, el Latmach de Alemania demostró "7+7".
En 1932, el británico Esterman demostró "6+6".
En 1937, la italiana Lacey demostró sucesivamente "5+7", "4+9", "3+15" y "2+366".
En 1938, Buxitab de la Unión Soviética demostró "5+5".
En 1940, Buxitab de la Unión Soviética demostró ser "4+4".
En 1956, Wang Yuan de China demostró “3+4”. Posteriormente se demostraron "3+3" y "2+3".
En 1948, el húngaro Rini demostró "1 + c", donde c es un número natural grande.
En 1962, Pan Chengdong de China y Barba de la Unión Soviética demostraron "1+5", y Wang Yuan de China demostró "1+4".
En 1965, los soviéticos Buchsh Taber y Vinogradov Jr., así como el italiano Pemberley, demostraron "1+3".
En 1966, Chen Jingrun de China demostró “1+2”.
2. Conjunto de excepciones
Tome un número entero grande x en el eje numérico y luego busque desde x aquellos números pares que invalidan la conjetura de Goldbach, es decir, números pares excepcionales. . El número de todos los números pares anormales antes de x se registra como E (x). Esperamos que no importa cuán grande sea X, solo hay una excepción, un número par antes de X, y ese es 2, es decir, solo 2 hace la suposición incorrecta. De esta forma, la conjetura de Goldbach equivale a que E(x) siempre sea igual a 1. Por supuesto, hasta ahora no se ha demostrado que e(x) = 1, pero se puede demostrar que E(x) es mucho menor que x, y el número par antes de x es aproximadamente x/2; hasta el infinito, la relación entre E (x) y x Si la relación tiende a cero, significa que la densidad de estos números pares excepcionales es cero, es decir, la conjetura de Goldbach es cierta para casi todos los números pares. Ésta es la idea de los conjuntos de excepciones.
El teorema de los tres números primos de Vinogradov fue publicado en 1937. Al año siguiente, en forma de un conjunto de excepciones, aparecieron simultáneamente cuatro demostraciones, incluido el famoso teorema del Sr. Hua.
Hay muchos aficionados que trabajan en la conjetura de Goldbach, afirmando "probar" que la conjetura de Goldbach es correcta en un sentido de probabilidad. De hecho, simplemente "probaron" que los números pares excepcionales tienen densidad cero. Esta conclusión fue realmente demostrada por Hua Lao hace 60 años.
3. Teorema de los tres números primos
Si la conjetura de Goldbach para números pares es correcta, entonces la conjetura de Goldbach para números impares también es correcta. Podemos pensar en este problema a la inversa. Como todos sabemos, un número impar n se puede expresar como la suma de tres números primos. Si puedes probar que uno de los tres números primos es muy pequeño, por ejemplo, el primer número primo siempre puede ser 3, entonces puedes probar la conjetura de Goldbach de los números pares. Esta idea impulsó al Sr. Pan Chengdong a estudiar el teorema de los números primos triples de un pequeño cambio cualitativo en 1959, cuando tenía 25 años. Esta pequeña variable prima no excede n elevada a la potencia de θ. Nuestro objetivo es demostrar que θ puede tomar 0, es decir, esta pequeña variable prima está acotada, y derivar la conjetura par de Goldbach a partir de esto. El Sr. Pan Chengdong demostró por primera vez que θ puede ser 1/4. Durante mucho tiempo después de eso, no hubo avances en este campo hasta que el profesor Zhan Tao avanzó el teorema del Sr. Pan hasta el 7/1995. Este número ya es menor, pero aún mayor que 0.
4. Casi el problema de Goldbach
En 1953, Linnick publicó un artículo de 70 páginas. En este artículo, fue pionero en el estudio del problema de Casi Goldbach, demostrando que existe un entero fijo no negativo k tal que cualquier número par grande puede escribirse como la suma de dos números primos elevados a la potencia de k^2.
Este teorema parece demonizar la conjetura de Goldbach, pero en realidad tiene un significado profundo. Observamos que los números enteros que pueden escribirse como la suma de 2 elevado a k potencias forman un conjunto muy escaso; de hecho, para cualquier x dado, el número de dichos números enteros antes de x no excederá k veces log X cuadrado, por lo tanto, el método de Linnick. El teorema establece que, aunque no podemos probar la conjetura de Goldbach, podemos encontrar un subconjunto muy disperso en el conjunto de números enteros, y cada vez que tomamos un elemento de este subconjunto disperso y lo pegamos en estos dos números primos. En la expresión de, esta expresión se cumple . La K aquí se utiliza para medir el grado en que el problema de Goldbach se acerca a la conjetura de Goldbach. Cuanto menor sea la K, mejor será la aproximación. Obviamente, si k es igual a 0, casi la potencia de 2 en el problema de Goldbach ya no aparece, por lo que el teorema de Linnick es la conjetura de Goldbach.
El artículo de Linnick de 1953 no estipulaba el valor permitido de k. Durante más de 40 años, la gente todavía no sabe qué tan grande debe ser k para que el teorema de Linnick sea verdadero. Pero según el argumento de Linnik, esta K debería ser muy grande. En 1999, el autor colaboró con dos profesores, Liao Mingzhe y Wang Tianze, para determinar por primera vez el valor permitido de K. Desde entonces, este primer valor permitido se ha mejorado continuamente. Cabe mencionar dos resultados: Li Hongze y Wang Tianze obtuvieron de forma independiente k = 2000. El mejor resultado actual de k=13 se logró gracias a la colaboración del matemático británico D. R. Heath-Brown y el matemático alemán Puchta. Este es un gran avance [1].